Aflați numerele naturale prime a,b,c,d,e și f știind că a,b,c,d,e sunt numere prime consecutive și : abcde-f2=2021.
\left.
\begin{array}{ll}
a \cdot b\cdot c \cdot d \cdot e-f^2=2021 \\\;\\
2021 \;este \;numar\; impar
\end{array}
\right \} \implies \\\;\\ \implies ((a \cdot b\cdot c \cdot d \cdot e) \;par\;și \;f^2 impar) \\\\\;\\sau ((a \cdot b\cdot c \cdot d \cdot e) \;impar\;și \;f^2 par)Dacă f2 este par atunci f este par, însă f este prim. Singurul număr par prim este 2 deci f este 2.
\left.
\begin{array}{ll}
f=2
\\\;\\a \cdot b\cdot c \cdot d \cdot e-f^2=2021
\end{array}
\right \} \implies \\\;\\ \implies a \cdot b\cdot c \cdot d \cdot e-2^2=2021 \implies \\\;\\ \implies a \cdot b\cdot c \cdot d \cdot e = 2021 +4 \implies \\\;\\ \implies a \cdot b\cdot c \cdot d \cdot e =2025
\\\;\\a,b,c,d,e \;nr \; prime\;consecutive\\\;\\
2025 = 5 ^2\cdot 3^4 \implies \\\;\\ \overset{5^2 \cdot 3^4\neq\; produs\;de\;nr\;prime\;consecutive } {\implies} f \neq 2Dacă abcde este par atunci unul din numerele produsului este par. Presupunem a este par, însă a este prim. Singurul număr par prim este 2 deci a este 2.
Știm că a,b,c,d,e sunt numere prime consecutive. Dacă a=2 atunci b=3, c=5, d=7 și e =11.
\left.
\begin{array}{ll}
a=2\\
b=3\\
c=5\\
d=7\\e =11
\\\;\\a \cdot b\cdot c \cdot d \cdot e-f^2=2021
\end{array}
\right \} \implies \\\;\\ \implies 2 \cdot 3\cdot 5 \cdot 7 \cdot 11-f^2=2021\implies \\\;\\ \implies2310-f^2=2021\implies \\\;\\ \implies f^2 = 2310-2021 \implies \\\;\\ \implies f^2 =289 \implies f=1717 este număr prim. Soluția finală este:
a=2, b=3, c=5, d=7, e =11 și f=17
