Fie x \in \R , să se rezolve următoarea ecuație:
\frac{x+2}{1} +\frac{x+3}{2}+ \frac{x+4}{3}+...+ \frac{x+19}{18}+ \frac{x+20}{19} = 19Această problemă cu logaritm a fost propusă în grupul MATE PENTRU TOȚI
Observăm că dacă vom scrie x +2 ca x +1 + 1 iar pe x + 3 ca x + 1+ 2 și așa mai departe până la x +20 ca x +1 + 19 ecuația devine:
\frac{x+1 +1}{1} +\frac{x+1 +2}{2}+ \frac{x+1+3}{3}+...+ \frac{x+1+18}{18}+ \frac{x+1+19}{19} = 19Știm că \frac{a+b}{c} = \frac {a}{c} + \frac{b}{c} deci putem scrie ecuația ca:
\frac{x+1}{1} + \frac{\cancel{1}}{\cancel{1}}+\frac{x+1 }{2}+ \frac{\cancel{2}}{\cancel{2}}+ \frac{x+1}{3}+\frac{\cancel{3}}{\cancel{3}}+...+ \frac{x+1}{{18}}+\frac{\cancel{18}}{\cancel{18}}+ \frac{x+1}{{19}} + \frac{\cancel{19}}{\cancel{19}}= 19Acum vom da factor comun pe x +1 :
(x+1)(\frac{1}{1} + \frac{1}{2} + ...\frac{1}{19}) + \underbrace{1 + 1 +...+1 }_{{19}}= 19Notăm cu S = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + …\frac{1}{19} și vom obține:
(x+1)\cdot S + 19 = 19 \iff \\[2em] \iff (x+1)\cdot S = 0
Știm că în cazul nostru S este strict pozitiv deci S ≠ 0 ce ce face ca x +1 să fie 0.
x +1 = 0 \implies x = -1
Suma S este un număr armonic.
