Ştiind că a,b,c,d,e sunt numere naturale și verifică relațiile:
2^a+2^b=(c-1)\cdot (c+1)\;\;\;\;\;\;și\\\;\\a^2+d^2-e^2+a-d+e-
2017=\\\;\\=2018^{a-d+e}Arătați că:
2017|(d+e), \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\\;\\2018|(a+d+e),\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\\;\\\ 2019|(c+d+e),\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\\;\\ \\2020|(a+b+c+d+e).\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\\;\\
Numerele a, b, c, d și e sunt numere naturale, iar 2018 = 2017+1.
a^2+d^2-e^2+a-d+e-
2017=\\\;\\=2018^{a-d+e} \implies \\ \;\\ \implies a^2+a +d^2-d-e^2+e-\\\;\\
-2018 + 1=2018^{a-d+e} \implies \\\;\\\implies a\cdot(a+1)+d\cdot(d-1)-\\\;\\-e\cdot(e-1)+1=2018^{a-d+e}+2018Observăm că avem produse de numere consecutive: a și a +1, d și d-1 respectiv e și e-1.
Știm că produsul a două numere consecutive este un număr par, și la fel și suma sau diferența unor numere pare va fi tot un număr par, ceea ce face ca numarul a(a+1) +d(d-1)-e(e-1) să fie un număr par, însă dacă adunăm 1 la acest numar vom obține un numar impar.
a\cdot(a+1)+d\cdot(d-1)-\\\;\\-e\cdot(e-1)+1 \;impar \implies\\\;\\
\left.
\begin{array}{ll}
\implies2018^{a-d+e}+2018 \; impar \\\;\\
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;2018\;\; par
\end{array}
\right \}\implies \\\;\\
\left.
\begin{array}{ll}\implies2018^{a-d+e} \;impar\\\;\\
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;2018 \;par
\end{array}
\right \} \implies \\\;\\ \implies a-d+e = 0 \implies \\\;\\\implies a+e =dVom înlocui pe d cu a + e în relația initială.
a\cdot(a+1)+(a+e)\cdot(a+e-1)-\\\;\\-e\cdot(e-1)+1=2018^0+2018 \implies\\\;\\ \implies a\cdot(a+1)+a\cdot(a+e-1) + \\\;\\\ + \;e\cdot(a+e-1) -e\cdot(e-1)+1=\\\;\\=1+2018 \implies \\\;\\\ \implies a\cdot(a+1+a+e-1) + \\\;\\\ + \;e\cdot(a+e-1-e+1)=2018 \implies \\\;\\ \implies a \cdot (2\cdot a+e)+e\cdot a=2018\implies\\\;\\\implies a \cdot (2\cdot a+e +e)=2018\implies\\\; \\\implies a \cdot (2\cdot a+2 \cdot e)=2018\implies\\\; \\\implies a \cdot 2\cdot (a+e)=2018\implies\\\; \\\implies a \cdot (a+e)=1009
Însă 1009 este numar prim deci a poate fi 1 sau 1009.
Dacă a este 1009 ar trebui ca a + e să fie 1, însă a și e sunt numere naturale, deci a nu va putea lua valoarea 1009.
\left.
\begin{array}{ll}a\cdot(a+e) =1009 \\\;\\
1009 \;prim\\\;\\
a,n \in \mathbb{N}
\end{array}
\right \} \implies a= 1\\\;\\
\left.
\begin{array}{ll}
a=1 \\\;\\
a+e =1009
\end{array}
\right \} \implies e= 1008\\\;\\
dar\;a+e =d \implies d =1009\left.
\begin{array}{ll}
a =1 \\\;\\
2^a+2^b=(c-1)\cdot (c+1)
\end{array}
\right \} \implies \\\;\\ \implies2+2^b=(c-1)\cdot (c+1)\\\;\\
Presupunem\;c\;este\; par \implies\\\;\\\implies (\exists)k\in \mathbb{N} \;a.î.\;c=2\cdot k\implies\\\;\\\implies 2+2^b=(2k-1)\cdot (2k+1)\implies \\\;\\\
\left.
\begin{array}{ll} \implies2+2^b= (2k)^2 -1 \\\;\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(2k)^2 - 1\; impar
\end{array}
\right \} \implies\\\;\\ \implies2+2^b \;impar \implies 2^b\; impar \implies \\\;\\\implies b=0 \implies 2+1 = c^2 -1\implies \\\;\\ \implies c^2 = 4 \overset {c\in \mathbb{N} } {\implies} c= 2
\\\;\\\;\\2+2^b=(c-1)\cdot (c+1)\\\;\\
Presupunem\;c\;este\; impar \implies\\\;\\\implies (\exists)k\in \mathbb{N} \;a.î.\;\;c=2\cdot k+1\implies\\\;\\\implies 2+2^b=(2k)\cdot (2k+2)\implies \\\;\\\
\implies 2+2^b= (2k)\cdot2\cdot(k+1) \implies \\\;\\\implies 2\cdot(1+2^{b-1})= 2\cdot2k\cdot(k+1)\implies\\\;\\
\left.
\begin{array}{ll}
\implies 1+2^{b-1} = 2k\cdot(k+1)\\\;\\
\;\;\;\;\;\;\;\;\;2\cdot2k\cdot(k+1)\; par
\end{array}
\right \} \implies\\\;\\ \implies1+2^{b-1} \;par \implies 2^{b-1}impar \implies \\\;\\\implies b-1=0 \implies b= 1 \;\;\;\;\;\\\;\\
\left.
\begin{array}{ll}
b= 1 \\\;\\
a= 1 \\\;\\
2^a+2^b=(c-1)\cdot (c+1)
\end{array}
\right \} \implies\\\;\\
\implies 2+2 = c^2 -1\implies \\\;\\ \implies c^2 = 5 \; dar \;{c\in \mathbb{N} } \;{\implies} \\\;\\\implies imposibil\; ca\; c\; să \;fie\; impar.Am găsit ca soluție:
\left.
\begin{array}{ll} a=1\\\;\\b=0\\\;\\c=2\\\;\\d=1009\\\;\\e=1008 \end{array}
\right \} \implies\\\;\\
\left.
\begin{array}{ll}
d + e = 2017\\\;\\
a+d+e = 2018\\\;\\c+d+e=2019\\\;\\a+b+c+d+e = 2020
\end{array}
\right \} \implies\\\;\\ \;\\
2017|(d+e), \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\\;\\2018|(a+d+e),\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\\;\\\ 2019|(c+d+e),\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\\;\\ \\2020|(a+b+c+d+e).\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\\;\\
