Problemă rezolvată #37 – Ecuație cu parte întreagă și fracționară

Această ecuație cu parte întreagă și parte fracționară a fost publicată în grupul Comunitatea profesorilor de matematică din România.

Rezolvați ecuația \{x\} + \large\frac{1}{\{x\}} = 2 + \Big\{\large\frac{1}{[x]}\Big\} , unde [a] și {a} reprezintă partea întreagă respectiv partea fracționară a numărului real a.

Din definiția părții întregi știm că:

\forall x \in R, \space x = [x] + \{x\}

avem proprietățile:

[x]\leq x < [x ]+ 1 \\[1em]
0 \leq  \{x\} <1

Analiza condițiilor de existență

Înainte de a începe rezolvarea problemei analizăm condițiile de existența și trebuie să considerăm cazurile în care numitorul este nenul : {x} ≠ 0 și [x] ≠ 0.

\{x\} \neq 0 \iff x \notin \Z \\[1em]
[x] \neq 0 {\iff} x \notin [0,1)

Analiză soluții

Putem considera discuția pe fiecare interval (k, k+1) \space \forall k \in \Z^* . Deci vom avea:

\forall k \in \Z^*, [x] = k  \implies \\[1em]
\{x\} = x - k \\[1em]
\Bigg\{\frac{1}{[x]}\Bigg\} =\Bigg\{{\frac{1}{k}}\Bigg\} 

În continuare vom nota cu c_k = 2 + \Big\{\large\frac{1}{k}\Big\}

\space  \forall x \in (k , k+1) ,  k \in \Z^* \\[1em]

\{x\} + \frac{1}{\{x\}} = 2 + \Bigg\{\large\frac{1}{[x]}\Bigg\}
\iff\\[1em]
x-k + \frac{1}{x-k} = c_k \iff\\[1em]
(x-k )^2 + 1 = c_k\cdot(x-k) \iff\\[1em]
x^2 -2kx + k^2 + 1 = c_kx - kc_k  \iff\\[1em]
x^2-2kx-c_kx+k^2+kc_k+1=0  \iff\\[1em]
x^2 -(2k+c_k)x+k^2+kc_k+1 =0

Avem acum o ecuație de gradul 2 căreia îi calculăm soluțiile.

\Delta = (2k+c_k)^2-4(k^2+kc_k+1) \iff \\[1em]
\Delta = 4k^2+4kc_k+c_k^2-4k^2-4kc_k-4  \iff \\[1em]
\Delta=c_k^2-4

Pentru ca ecuația să aibă soluții reale trebuie ca \Delta \ge 0

Vom analiza două cazuri în care \Delta = 0 și \Delta > 0 .

Delta egal 0

Pentru \Delta = 0 și c_k = 2 + \Big\{\large\frac{1}{k}\Big\} avem :

\left(2 + \Big\{\frac{1}{k}\Big\}\right)^2 - 4 =0  \iff \\[1em]
4 + 4 \Big\{\frac{1}{k}\Big\} +{\Big\{\frac{1}{k}\Big\} }^2 -4 =0  \iff \\[1em]
4 \Big\{\frac{1}{k}\Big\} +{\Big\{\frac{1}{k}\Big\} }^2=0 \iff \\[1em]
\Big\{\frac{1}{k}\Big\} \left( 4 +  \Big\{\frac{1}{k}\Big\} \right) = 0

dar 4+ \Big\{\frac{1}{k}\Big\} >0 deoarece \Big\{\frac{1}{k}\Big\} \ge 0

deci ne rămane de discutat doar cazul în care \Big\{\frac{1}{k}\Big\} = 0 . Aceasta se poate întâmpla când k este 1 sau -1.

Pentru k = 1 avem :

x=\frac{2 \cdot 1+ 2}{2} \iff \\[1em]
x=2  

dar știm că x \notin \Z , deci soluția x = 2 nu convine.

Pentru k = -1 avem :

x=\frac{2 \cdot (-1)+ 2}{2} \iff \\[1em]
x=0

dar știm din condițiile de existentă că x \neq 0 , deci soluția x = 0 nu convine.

Delta strict pozitiv

Pentru \Delta > 0 ecuația va avea soluțiile:

x_{1,2}=\frac{2k+c_k\pm\sqrt{c_k^2-4}}{2} \iff \\[1em]
x_{1,2}=k+\frac{c_k\pm\sqrt{c_k^2-4}}{2} 

Vom discuta mai întâi varianta x_1

Știm că x_{1} \in (k, k+1) ceea ce face ca x_1 < k +1

x_{1}=k+\frac{c_k+\sqrt{c_k^2-4}}{2} = k+\frac{2 + \Big\{\large\frac{1}{k}\Big\} +\sqrt{c_k^2-4} }{2} \implies\\[1em]
x_1= k + 1 + \frac{\Big\{\large\frac{1}{k}\Big\} +\sqrt{c_k^2-4} }{2}  

dar \Delta >0 și \left\{\frac{1}{k}\right\} > 0 deci x_1 > k +1 ceea ce este imposibil deoarece x_1 < k +1 , deci soluția x_1 nu convine.

Deci ne rămîne o singură variantă posibilă de analizat x_2 :

x=k+\frac{c_k-\sqrt{c_k^2-4}}{2}

Observăm că

0 < \frac{c_k-\sqrt{c_k^2-4}}{2} < 1

ceea ce face ca k < x < k+1

De unde obținem că aceasta ecuație cu parte întreagă și fracționară are o infinitate de soluții de forma:

[x]+\frac{2 + \Big\{\large\frac{1}{[x]}\Big\}-\sqrt{\Big(2 + \Big\{\large\frac{1}{[x]}\Big\} \Big)^2-4}}{2} \\[1em]  x \in (k, k+1)  \space \forall k  \in \Z^* \setminus \{-1, 1\}

Pe care o mai putem scrie:

x_k=k+\frac{2 + \Big\{\large\frac{1}{k}\Big\}-\sqrt{\Big(2 + \Big\{\large\frac{1}{k}\Big\}\Big)^2-4}}{2} \\[1em] k = [x] \space \text{și} \space x \in (k, k+1)  \space \forall k  \in \Z^* \setminus \{-1, 1\}

Reprezentare Geogebra

Mai jos avem reprezentarea în Geogebra a soluțiilor acestei ecuații :