Găsiți toate numerele pătrate perfecte ale căror cifre micșorate cu o unitate dau alte pătrate.
Această problemă a fost publicată în grupul MateMaraton.
Fie x \in \N îl putem scrie pe x^2 cu n cifre în baza zece cu a_i \in N, \space 1 \leq a_i <9 .
x^2 =a_0 + a_1\cdot 10 +a_2\cdot10^2 +...+a_{n-1}\cdot10^{n-1}Numerele în care vom micșora fiecare cifră cu 1 sunt de forma:
(a_0-1) + (a_1-1)\cdot 10 +(a_2-1)\cdot10^2 +...+(a_{n-1}-1)\cdot10^{n-1} = \\[1em]
= a_0-1+a_1\cdot10 -10+a_2\cdot10^2-10^2+...+a_{n-1}\cdot10^{n-1} -10^{n-1} =\\[1em]
=a_0 + a_1\cdot 10 +a_2\cdot10^2 +...+a_{n-1}\cdot10^{n-1}-1-10^1-...-10^{n-1}=\\[1em]
=x^2-(1+10^1+10^2+...+10^{n-1})Trebuie să găsim numerele de această formă care sunt pătrate perfecte, unde n este numărul cifrelor lui x^2 :
y^2 = x^2-(1+10^1+10^2+...10^{n-1})De unde găsim:
x^2-y^2 =1+10^1+10^2+...10^{n-1}Aceasta ecuație are o infinitate de soluții. În tabelul de mai jos regăsiți câteva:
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
\text{x}^2 & \text{y}^2 & 1+ 10^1+...+10^{n-1}\\
\hline
1& 0& 1 \\
\hline
36 & 25 & 11 \\
\hline
3136 & 2025 & 1111 \\
\hline
24336 & 13225 & 11111 \\
\hline
118336 & 7225 & 111111 \\
\hline
126736 & 15625 & 111111\\
\hline
...& ... & ... \\
\hline
\end{array}
Deci putem considera că soluțiile sunt de forma:
y \in N \text { pentru care} \\[1em]
y^2 ={ x^2-(1+10^1+10^2+...10^{n-1})}\space; \space x \in N, \\[1em]\space n \text{ numărul cifrelor lui } x^2,\\[1em]\text{cifrele lui }x^2 \text{ diferite de 0}
