În cartea sa, Elementele, Euclid (300 î.e.n) a afirmat că Numerele prime sunt mai numeroase decât orice multitudine desemnată de numere prime. Cu alte cuvinte, există o infinitate de numere prime.
Demonstrația este următoarea:
Presupunem că mulțimea numerelor prime este finită și conține numerele prime 2,3,5,…n. Astfel n va fi cel mai mare număr prim. Notăm cu P produsul numerelor 2,3,5,…,n la care adăugăm 1:
P = 2\cdot 3 \cdot..\cdot n + 1
- P este fie prim și am mai găsit un alt număr prim față de cele deja găsite.
- Fie nu este prim. Se poate scrie, deci, ca multiplu al unui număr prim, k, ce aparține mulțimii numerelor prime deja cunoscute.
k|P \\ k|2\cdot 3 \cdot..\cdot n \implies\\k|(P -2\cdot 3 \cdot..\cdot n)\implies k∣1
Asta înseamnă că vom avea k = 1, însă aceasta nu este posibil deoarce k este mai mare ca 2 fiind prim; deci nu poate fi 1.
În oricare dintre situațiile de mai sus ajungem la o contradicție, presupunerea făcută inițial, cum că ar exista un “cel mai mare număr prim n” fiind falsă.
Cel mai mare număr prim cunoscut astăzi este cunoscut ca M82589933. El este calculat prin ridicarea la puterea 82.589.933 a lui 2, iar din totalul obținut se scade 1: 282.589.933-1. Acesta are 24.862.048 de cifre.
[the_ad_group id=”102″]
