Problema #7 – Cifra de pe poziția cerută pentru un număr foarte lung

Determinați cifra de pe poziția 2020 a numărului:

N = 122223222...2011\underbrace{2222...2222}_{\text{2011}}

Observăm că regula de construcție a acestui număr este: 1, urmat de un 2; 2 urmat de doi de 2; 3 urmat de 3 de 2; 4 urmat de 4 de 2 și așa mai departe până la 2011 urmat de două mii unsprezece de 2.

Fiecare număr n între 1 și 2011, “aduce” cu sine numărul propriu de cifre, plus n cifre de 2:

1: 1 + 1\\
2: 1 + 2\\
3: 1 + 3\\
...\\
9: 1 + 9\\
10: 2+10\\
11: 2 +11\\
...\\
99: 2 + 99\\
100: 3 + 100\\
...\\
999: 3 + 999\\
1000: 4 + 1000\\
...\\
2011:4 + 2011

Secvența corespunzătoare lui 9 se termină pe poziția 54:

9 + \frac{9\cdot10}{2} = 9 + 45 = 54

Secvența corespunzătoare lui 99 se termină pe poziția:

\underbrace{9}_{\text{cifre numerelor 1.. 9}} +\\\;\\+\underbrace{ 2\cdot(99-10+1)}_{\text{cifrele numerelor 10..99}}+\\\;\\+\underbrace{\frac{99\cdot100}{2}}_{\text{Gauss: numărul cifrelor de 2}} = 5139

Înseamnă deci că cifra de pe poziția 2020 se află undeva înainte de secvența corespunzătoare numărului 99 și după cea a lui 9.

Generalizăm formula de mai sus pentru un număr n de două cifre; vrem deci să vedem pe ce poziție va fi ultima cifră a unui număr generic n de două cifre. Notăm această ultimă poziție U_n:

U_n=9 + 2(n-10+1) + \frac{n\cdot(n+1)}{2}\\\;\\
U_n=9 + 2\cdot(n-9) + \frac{n\cdot(n+1)}{2}

Vrem să aflăm primul număr întreg pentru care ultima cifră este pe o poziție mai mare decât 2020. Scriem:

U_n\geq2020\\\;\\
9 + 2\cdot(n-9) + \frac{n\cdot(n+1)}{2}\geq2020\\\;\\
18 + 4\cdot{n}-36+n\cdot(n+1)\geq4040\\\;\\
n^2+5\cdot{n}-4058\geq0\\\;\\
\Delta=5^2+4\cdot4058=16257\\\;\\
x_{1,2}=\frac{-5\pm\sqrt{16257}}{2}

Se observă că o rădăcină este negativă, iar pe noi ne interesează numai cea pozitivă. Mai mult, ne interesează primul număr întreg de după această rădăcină. Pentru a evita calculul rădăcinii pătrate a lui 16257, îl putem aproxima pe acesta cu 16384, care este 2¹⁴

Deci putem spune acum:

n\geq\frac{-5+128}{2}\\\;\\
n\geq61.5

Pentru n=62 obținem:

U_{62}=9+2\cdot(62-9)+\frac{62\cdot63}{2}\\\;\\
U_{62}=9+106+1953\\\;\\
U_{62}=2068

Am obținut deci că secvența din număr corespunzătoare numărului 62 se termină pe poziția 2068. Pe noi ne interesează poziția 2020, cu 48 de poziții înainte. Să ne aducem aminte cum arată secvența corespunzătoare lui 62:

...62\underbrace{2222...222}_{\text{de 62 de ori}}...

Deci, 48 de poziții înainte de finalul acestei secvențe se va afla un 2. În concluzie, pe poziția 2020 se află cifra 2.