Problemă rezolvată dintre subiectele propuse pentru clasa a X-a la ONGM 2020-2021.
Enunț
Dacă ABC este un triunghi dreptunghic în A, atunci folosind notațiile uzuale suma b+c este egală cu:
\textbf{A. } r + R \ \ \ \ \ \textbf{B. } \dfrac{r+R}{2} \ \ \ \ \ \ \textbf{C. } 2(r + R) \\\;\\ \qquad\textbf{D. } \dfrac{r+R}{r\cdot R} \qquad \textbf{E. } a + r + R Rezolvare
Suprafața triunghiului poate fi exprimată în funcție de raza cercului înscris și semiperimetru astfel:
\left.
\begin{array}{ll}S = r \cdot p \\\;\\
S = \dfrac{bc}{2}\\\;\\
p = \dfrac{a+b+c}{2} \end{array}
\right \} \implies \\\;\\ \implies \dfrac{bc}{2} = r \cdot \dfrac{a+b+c}{2} \implies \\\;\\ \implies bc = r \cdot (a + b+c) \\ \;\\
\left.
\begin{array}{ll}
b^2 + 2bc + c^2 = (b+c)^2 \\\;\\
b^2 + c^2 = a^2 \text{(Th. Pitagora)}
\end{array}
\right \}\implies \\ \;\\\implies (b+c)^2 = a^2 + 2bc \implies \\\;\\
\left.
\begin{array}{ll}
\implies
bc = \dfrac{(b+c)^2 - a^2}{2} \\\;\\
\qquad \ \ bc = r \cdot (a + b+c)\\\;\\
\qquad \ \ a =2R \end{array}
\right \} \implies \\\;\\ \implies \dfrac{(b+c)^2 - (2R)^2}{2} = r \cdot (2R+b+c) \implies \\\;\\ \implies \dfrac{\cancel{(b+c+2R)}(b+c - 2R)}{2} = \\ \ \\ =r \cdot\cancel{(2R+b+c)} \implies \\\;\\ \implies \dfrac{(b+c-2R)}{2} = r \implies \\\;\\ \implies b+c = 2 r + 2R \implies \\\;\\ \implies b+c =2\cdot (r+R)Răspunsul este C, 2(r + R).
