Iată câteva formule pentru a calcula suma lui Gauss și sumele primelor numere naturale pare sau impare. Aruncăm o privire și asupra sumelor puterilor lor (de exemplu 12+22+32+…+n2) și prezentăm o formulă – formula lui Pascal – care ne ajută să deducem o astfel de sumă de puteri din sumele puterilor precedente.
Știm din proprie experiență că exercițiile cu suma lui Gauss dau bătăi de cap atât elevilor cât și părinților. Dacă aveți o astfel de sumă care nu iese, lăsați-ne un comentariu și ne uităm împreună.
1. Suma constantă
\underbrace{1+...+1 }_\text{n} = n \\[1em]\text{sau} \\[1em]
\displaystyle\sum_{k=1}^{n}1 =n2. Suma lui Gauss – suma primelor numere naturale
1+2+3+...+(n-1)+n= \\[1em] = \dfrac{n\cdot(n+1)}{2}
\\[1em]\text{sau} \\[1em] \displaystyle\sum_{k=1}^{n}k = \dfrac{n\cdot(n+1)}{2}
Suma primelor numere pare
2+4+...+2n= \\[1em] =n\cdot(n+1)\\[1em]\text{sau} \\[1em]\sum_{k=1}^{n}2k = n\cdot(n+1)
Suma primelor numere impare
1+3+5+...+(2n+1)= \\[1em] = (n+1)^2\\[1em]\text{sau} \\[1em]\displaystyle\sum_{k=0}^{n}(2k+1) = (n+1)^2Formulele pentru suma primelor numere pare sau impare se demonstrează ușor odată ce știm formula sumei lui Gauss.
3. Suma primelor n pătrate
1^2+2^2+…+(n-1)^2+n^2= \\[1em] = \dfrac{n\cdot(n+1)\cdot(2n+1)}{6} \\[1em]\text{sau} \\[1em]\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^2 = \dfrac{n\cdot(n+1)\cdot(2n+1)}{6}Pentru a demonstra această formulă, mai întâi calculăm diferența între cuburile a două numere consecutive.
n^3-(n-1)^3 = 3n^2-3n+1
Aplicăm această formulă numerelor de la 1 la n:
1^3-0^3=3\cdot1^2-3\cdot1+1\\[1em] 2^3-1^3=3\cdot2^2-3\cdot2+1\\[1em] 3^3-2^3=3\cdot3^2-3\cdot3+1\\[1em] \dots\\[1em] n^3-(n-1)^3=3n^2-3n+1
Făcând suma acestor relații și notând cu S2 suma pătratelor, obținem:
n^3-0^3 = 3S_2-3\frac{n(n+1)}2+n\\[1em]
3S_2=n^3+\frac{3}{2}n(n+1)-n\\[1em]
3S_2=n(n^2-1)+\frac{3}{2}n(n+1)\\[1em]
3S_2=n(n+1)(n-1)+\frac{3}{2}n(n+1)\\[1em]
3S_2=\frac{n(n+1)(2n-2+3)}{2}\\[1em]
S_2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}4. Suma primelor n cuburi – Teorema lui Nicomachus
1^3+2^3+...+n^3= \\[1em] = \bigg[\dfrac{n\cdot(n+1)}{2}\bigg]^2 =\dfrac{n^2\cdot(n+1)^2}{4} \\[1em]\text{sau} \\[1em]\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^3 = \bigg[\dfrac{n\cdot(n+1)}{2}\bigg]^25. 14+24+…+n4
1^4+2^4+...+n^4= \\[1em] = \dfrac{n\cdot(n+1)\cdot(6n^3+9n^2+n-1)}{30} \\[1em]\text{sau} \\\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^4 = \dfrac{n\cdot(n+1)\cdot(6n^3+9n^2+n-1)}{30} 6. 15+25+…+n5
1^5+2^5+...+n^5= \\[1em] = \dfrac{n^2\cdot(n+1)^2\cdot(2n^2+2n-1)}{12} \\[1em]\text{sau} \\[1em]\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^5 = \dfrac{n^2\cdot(n+1)^2\cdot(2n^2+2n-1)}{12} 7. 16+26+…+n6
1^6+2^6+...+n^6= \\[1em] = \dfrac{n\cdot(n+1)\cdot(6n^5+15n^4+6n^3-6n^2-n+1)}{42} \\[1em]\text{sau} \\[1em]\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^6 = \dfrac{n\cdot(n+1)\cdot(6n^5+15n^4+6n^3-6n^2-n+1)}{42} 8. 17+27+…+n7
1^7+2^7+...+n^7= \\[1em] = \dfrac{n^2\cdot(n+1)^2\cdot(3n^4+6n^3-n^2-4n+2)}{24} \\[1em]\text{sau} \\[1em]\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^7 = \dfrac{n^2\cdot(n+1)^2\cdot(3n^4+6n^3-n^2-4n+2)}{24} Formula lui Pascal:
Fie Sp = 1p + 2p +… + np; dacă se cunosc valorile pentru S1, S2, …, Sp-1 putem calcula Sp astfel:
(n+1)^{p+1} = 1 +C_{p+1}^1S_p + C_{p+1}^2S_{p-1} + ...+ C_{p+1}^pS_{1}+nÎn această formulă, considerăm C_{n}^{r}=\frac{n!}{r!(n-r)!}, cu n!=1\cdot2\cdot\ldots\cdot n.
Spre exemplu, putem aplica formula lui Pascal pentru a găsi S2 din S1.
(n+1)^3 = 1 + \frac{3!}{2!}S_2+\frac{3!}{2!}S_1+n\\[1em]
n^3+3n^2+3n+1 = 1+3S_2+\frac{3}{2}n(n+1)+n\\[1em]
2n^3+6n^2+6n=6S_2+3n^2+3n+2n\\[1em]
6S_2=2n^3+3n^2+n\\[1em]
6S_2=n(2n^2+3n+1)\\[1em]
6S_2=n(2n^2+2n+n+1)\\[1em]
S_2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}Proprietăți ale sumelor
Distributivitatea
\alpha\cdot a_1+\alpha\cdot a_2+...+\alpha\cdot a_n = \\[1em] =\alpha\cdot (a_1 + a_2+...+a_n) \\[1em]\text{sau} \\[1em] \displaystyle\sum_{k=1}^{n}\alpha\cdot a_k =\alpha\cdot \displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_k
Comutativitatea și asociativitatea
\alpha\cdot a_1+ \beta \cdot b_1 + \alpha\cdot a_2+ \beta \cdot b_2+...+\alpha\cdot a_n +\beta \cdot b_n = \\[1em] =\alpha\cdot (a_1 +...+a_n) + \beta \cdot ( b_1+...+b_n) \\[1em]\text{sau} \\[1em]
\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(\alpha\cdot a_k + \beta \cdot b_k) = \\[1em]=\alpha\cdot \displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_k +\beta\cdot \displaystyle\sum_{k=1}^{n}b_k Divizarea sumei folosind asociativitatea
Suma este egală cu primul termen plus restul sumei:
a_1+a_2+...+ a_n = \\[1em] =a_1 + (a_2+...+a_n) \\[1em]\text{sau} \\[1em]\displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_k =a_1+ \displaystyle\sum_{k=2}^{n}a_k Suma este egală cu ultimul termen plus restul sumei:
a_1+a_2+...+ a_n = \\[1em] =a_n + (a_1+...+a_{n-1}) \\[1em]\text{sau} \\[1em]\displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_k =a_n+ \displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}a_k Suma este egală cu două sume intermediare:
a_1+a_2+...+a_k+ a_{k+1}+...+ a_n = \\[1em] = (a_1+a_2+...+a_k)+(a_{k+1}+...+ a_n ) \\[1em]\text{sau}\\[1em] \\\displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_k =\displaystyle\sum_{i=1}^{k}a_k + \displaystyle\sum_{i=k+1}^{n}a_k 
