Triunghiuri asemenea, șervețele și numere pitagoreice

Să presupunem că avem un șervețel pătrat de latură 1. Îl împăturim astfel încât colțul din dreapta sus să ajungă la jumătatea laturii din stânga. Să se arate că toate triunghiurile formate sunt triunghiuri asemenea triunghiului dreptunghic cu laturile 3-4-5.

Tripletele pitagoreice ^[1] sunt formate din trei numere naturale nenule a, b, c cu proprietatea că a^2+b^2=c^2. Cu alte cuvinte, a și b pot fi dimensiunile catetelor unui triunghi dreptunghic cu ipotenuza c.
Numerele 3, 4 și 5 alcătuiesc un astfel de triplet, considerând că 3^2+4^2=5^2.

Problema apare într-un articol din Mathematics Magazine ^[2] de anul acesta și este destul de simplu de rezolvat.

În primul rând, observăm că se formează trei triunghiuri: \triangle DAE, \triangle DBG și \triangle FGH. Toate aceste triunghiuri sunt dreptunghice, deoarece unghiurile \angle DAE, \angle DBG și \angle GFH sunt colțurile șervețelului nostru pătrat. Notând cu x dimensiunea segmentului AE, obținem DE = 1-x. Și atunci:

\lparen\frac{1}{2}\rparen^2+x^2 = (1-x)^2\implies\\[1em]
\frac{1}{4}+\cancel{x^2} = 1-2x+\cancel{x^2}\implies\\[1em]
8x=3\implies\\[1em]
\boxed{x = \frac{3}{8}}\\[1em]

Rezultă deci că:

AE=\frac{3}{8}, AD = \frac{1}{2}\lparen=\frac{4}{8}\rparen, ED=\frac{5}{8}

Criterii de asemănare

Triunghiurile asemenea au unghiurile congruente două câte două. În plus, două triunghiuri sunt asemenea:

1. … dacă două unghiuri dintr-un triunghi sunt respectiv congruente cu unghiurile corespunzătoare din cel de-al doilea.
2. … dacă un unghi dintr-un triunghi este congruent cu unghiul corespunzător din cel de-al doilea, iar laturile care le formează sunt proporționale două câte două.
3. … dacă laturile lor sunt proporționale două câte două.

Pentru a arăta că triunghiul \triangle AED este asemenea cu triunghiul cu laturile pitagoreice 3, 4 și 5 folosim cel de-al treilea criteriu și observăm că rapoartele între laturile corespunzătoare (3 cu \frac{3}{8}, 4 cu \frac{1}{2} și 5 cu \frac{5}{8}) sunt egale.

Pentru celelalte două triunghiuri putem aplica aceeași metodă, să le calculăm laturile. Însă se poate observa că toate cele trei triunghiuri din figură sunt asemenea între ele.

Unghiurile \angle FGH și \angle BGD sunt congruente, iar aceasta este suficient pentru a arăta că \triangle FGH și \triangle DBG sunt asemenea, fiind triunghiuri dreptunghice. Apoi pe baza sumei unghiurilor dintr-un triunghi, putem arăta că \angle EDA și \angle BGD sunt și ele congruente, \angle EDG fiind colț al pătratului inițial, adică unghi drept. Înseamnă deci că și \triangle BDG și \triangle ADE sunt asemenea. Toate cele trei triunghiuri din figură sunt, în consecință, asemenea.

Cum mai sus am arătat că \triangle ADE este asemenea cu triunghiul 3-4-5, rezultă că și celelalte două, \triangle BDG și \triangle FGH sunt asemenea cu acesta.

Concluzia este, deci, că dacă împăturim șervețelul astfel încât colțul din dreapta sus să fie adus la jumătatea laturii din stânga, obținem triunghiuri asemenea cu triunghiul cu laturile pitagoreice 3-4-5. Mai mult, asta înseamnă că laturile acestor triunghiuri au valori raționale. Ce credeți, putem generaliza aceaste proprietăți atunci când, în loc de \frac{1}{2}, îl vom îndoi astfel încât punctul D să se afle pe segmentul AB, la distanța r de A, cu r \in\mathbb{Q}^*_+,\text{ } r\lt 1?