Problemă rezolvată #36 – GM nr.10/2023 – 28695 logaritm

Această problemă cu logaritm a fost propusă în grupul MATE PENTRU TOȚI .

GM nr.10/2023 – 28695 Fie n \in \N^* . Demonstrați că n^2 + 2^{[log_2n] } se scrie ca produs de două numere naturale consecutive dacă și numai dacă n este o putere a lui 2.

Din proprietățile părții întregi știm că \forall x \in \R \ \ [x] \leq x < [x] + 1

Aplicăm această proprietate lui {[log_2n] } (logaritm în baza 2 din n) și obținem :

[log_2n] \leq log_2n < [log_2n] +1

Știm de asemenea că funcția exponențială cu bază 2 este strict crescătoare deci vom avea:

2^{[log_2n]} \leq2^{log_2n} < 2^{[log_2n] +1} \iff
\\[2em]2^{[log_2n]} \leq2^{log_2n} < 2\cdot2^{[log_2n]}\xLeftrightarrow{a^{log_a{x}} = x}
 \\[2em] 2^{[log_2n]}\leq n < 2\cdot2^{[log_2n]}

în inegalitatea de mai sus împărțim ambii membri cu 2 și vom obține:

\frac{1}{2}\cdot2^{[log_2n]}\leq \frac{n}{2} < 2^{[log_2n]} 

Dar 2^{[log_2n]} \leq n deci vom avea :

\frac{1}{2}\cdot2^{[log_2n]}\leq \frac{n}{2} < 2^{[log_2n]}  \leq n

Deci \frac{n}{2} < 2^{[log_2n]} \leq n . Vom aduna n^2 în ambii membri :

 n^2 +\frac{n}{2} < n^2 + 2^{[log_2n]}  \leq n + n^2

Dar n^2 -n < n^2 +\frac{n}{2} deci

( n-1) \cdot n < n^2 + 2^{[log_2n]}  \leq n\cdot (n+1) 

Deci singura posibilitate ca n^2 +2^{[log_2n]} să se scrie ca produs de numere naturale consecutive este să fie de forma n\cdot(n+1).

Ne mai rămâne să demonstrăm că n^2 +2^{[log_2n]}= n\cdot(n+1) dacă și numai dacă n este o putere a lui 2.

Considerăm implicația directă. Dacă n^2 +2^{[log_2n]}= n\cdot(n+1) \implies n = 2^k

n^2 +2^{[log_2n]}= n\cdot(n+1) \iff\\[2em]
\cancel {n^2}  +2^{[log_2n]}= \cancel {n^2} + n \iff\\[2em]
2^{[log_2n]}=  n\xLeftrightarrow{\circ log_2}\\[2em]
log_22^{[log_2n]}= log_2 n  \xLeftrightarrow{{log_aa^{x}} = x}\\[2em]
[log_2n] = log_2 n  \iff\\[2em]
 log_2 n \in \N 

log_2 n este număr natural dacă n este putere a lui 2.

Considerăm implicația inversă. Dacă n = 2^k, k \in \N \implies n^2 +2^{[log_2n]}= n\cdot(n+1) .

Dacă n = 2^k atunci 2^{[log_2n]} = 2^{[log_22^k]} =2^{[k]}

Cum k \in \N atunci 2^{[k]} = 2^k deci 2^{[log_2n]} = 2^k .

Din acestea obținem că: n^2 +2^{[log_2n]} = (2^k)^2 + 2^k =2^{2 \cdot k } + 2 ^k = 2^ k\cdot(2^k +1) = n \cdot(n+1)

Am demonstrat astfel implicațiile directă și indirectă deci n^2 +2^{[log_2n]}= n\cdot(n+1) \iff n = 2^k Q.E.D