Problemă rezolvată #36 – GM nr.10/2023 – 28695 logaritm

Această problemă cu logaritm a fost propusă în grupul MATE PENTRU TOȚI .

GM nr.10/2023 – 28695 Fie n \in \N^* . Demonstrați că n^2 + 2^{[log_2n] } se scrie ca produs de două numere naturale consecutive dacă și numai dacă n este o putere a lui 2.

Din proprietățile părții întregi știm că \forall x \in \R \ \ x \leq [x] < x + 1

Aplicam această proprietate lui {[log_2n] } (logaritm în baza 2 din n) și obținem :

log_2n \leq[log_2n] < log_2n +1

Știm de-asemena că funcția exponențială de bază 2 este strict crescătoare deci vom avea:

2^{log_2n} \leq2^{[log_2n]} < 2^{log_2n +1} \iff
\\[2em]2^{log_2n} \leq2^{[log_2n]} < 2\cdot2^{log_2n}\xLeftrightarrow{a^{log_a{x}} = x}
 \\[2em] n\leq2^{[log_2n]} < 2\cdot n

în inegalitatea de mai sus adunăm în toți membrii pe n^2 și vom obține

 {n^2} + n\leq {n^2} +2^{[log_2n]} < {n^2}  + 2\cdot n \iff 
\\[2em] n\cdot(n+1) \leq n^2 +2^{[log_2n]} < n \cdot(n+2)

Observăm că expresia n^2 +2^{[log_2n]} se poate scrie ca produs de numere naturale consecutive doar ca n\cdot(n+1) deoarce n \leq n+ 1 și

\left.
  \begin{array}{ll}
n\cdot(n+1) \leq n^2 +2^{[log_2n]} < n \cdot(n+2)\\[1em]
 n <  n+ 1
\end{array}
\right \} {\implies}\\[2em]
n\cdot(n+1) \leq n^2 +2^{[log_2n]} < (n +1 )\cdot(n+2)

Deci singura posibilitate ca n^2 +2^{[log_2n]} să se scrie ca produs de numere naturale consecutive este să fie de forma n\cdot(n+1).

Ne mai rămâne să demonstrăm că n^2 +2^{[log_2n]}= n\cdot(n+1) dacă și numai dacă n este o putere a lui 2.

Considerăm implicația directă. Dacă n^2 +2^{[log_2n]}= n\cdot(n+1) \implies n = 2^k

n^2 +2^{[log_2n]}= n\cdot(n+1) \iff\\[2em]
\cancel {n^2}  +2^{[log_2n]}= \cancel {n^2} + n \iff\\[2em]
2^{[log_2n]}=  n\xLeftrightarrow{\circ log_2}\\[2em]
log_22^{[log_2n]}= log_2 n  \xLeftrightarrow{a^{log_a{x}} = x}\\[2em]
[log_2n] = log_2 n  \iff\\[2em]
 log_2 n \in \N 

log_2 n este număr natural dacă n este putere a lui 2.

Considerăm implicația inversă. Dacă n = 2^k, k \in\ N \implies n^2 +2^{[log_2n]}= n\cdot(n+1) .

Dacă n = 2^k atunci 2^{[log_2n]} = 2^{[log_22^k]} =2^{[k]}

Cum k \in N atunci 2^{[k]} = 2^k deci 2^{[log_2n]} = 2^k .

Din acestea obținem că: n^2 +2^{[log_2n]} = (2^k)^2 + 2^k =2^{2 \cdot k } + 2 ^k = 2^ k\cdot(2^k +1) = n \cdot(n+1) q.e.d