Matematică

Teorema Steiner-Lehmus – bisectoare egale în triunghiul isoscel

Anca

Un triunghi care are două bisectoare interioare egale, măsurate de la vârf la latura opusă, este isoscel.

Vom prezenta două metode de demonstrare a acestei teoreme.

Metoda 1

Vom demonstra prin metoda reducerii la absurd aplicată în două cazuri.
Considerăm BD și EC bisectoarele unghiurilor B respectiv C. Presupunem ca AB ≠ AC cu AB < AC. Dar știm că, într-un triunghi, laturii cu lungimea mai mare i se opune unghiul mai mare și reciproc.

AB<AC  ⟹  m(∡ACB)<m(∡ABC)  ⟹    ⟹  m(∡ACB)2<m(∡ABC)2AB < AC \implies m(\measuredangle ACB) < m(\measuredangle ABC) \implies \\[1em] \implies \dfrac{m(\measuredangle ACB) }{2} < \dfrac{m(\measuredangle ABC) }{2}

De unde obținem că în triunghiurile BCD si BCE vom avea CD > BE.
Vom construi paralelogramul BDFE și vom avea următoarele relații:

BDFE este paralelogram deci vor fi satisfăcute următoarele relații:

[DF]≡[BE]m(∡EFD)=m(∡EBD)=m(∡ABC)2[BD]≡[EF][DF]\equiv[BE]\\[1em] m(\measuredangle EFD) = m(\measuredangle EBD) = \dfrac{m(\measuredangle ABC) }{2}\\[1em] [BD]\equiv[EF]\\[1em]

Dar știm din ipoteză că cele două bisectoare sunt congruente, adică [BD] ≡ [CE], deci [EF] ≡ [CE] deci triunghiul ECF este isoscel. Așadar, vom avea:

m(∡EFD)=m(∡ABC)2m(∡ECD)=m(∡ACB)2m(∡ABC)<m(∡ACB)}  ⟹    ⟹  m(∡EFD)<m(∡ECD)m(∡EFC)=m(∡ECF)}  ⟹    ⟹  m(∡EFC)−m(∡EFD)<m(∡ECF)−m(∡ECD)  ⟹    ⟹  m(∡DFC)<m(∡DCF)\left . \begin{array}{ll} m(\measuredangle EFD) = \dfrac{m(\measuredangle ABC) }{2} \\[2em] m(\measuredangle ECD) = \dfrac{m(\measuredangle ACB) }{2} \\[2em] m(\measuredangle ABC) < m(\measuredangle ACB)\\[1em] \end{array} \right \} \implies \\[1em] \left . \begin{array}{ll} \implies m(\measuredangle EFD) < m(\measuredangle ECD) \\[1em] \qquad m(\measuredangle EFC) = m(\measuredangle ECF) \\[1em] \end{array} \right \} \implies \\[1em] \implies m(\measuredangle EFC) - m(∡EFD)< m(\measuredangle ECF) - m(∡ECD) \implies \\[1em] \implies m(∡DFC)< m(\measuredangle DCF)

Vom aplica din nou faptul că într-un triunghi laturii cu lungimea mai mare i se opune unghiul mai mare și reciproc și vom obține DC < DF. Dar [DF] ≡ [BE], de unde obținem că DC < BE, ceea ce este în contradicție cu CD > BE. Deci presupunerea făcută inițial că AB < AC este falsă.
Vom demonstra în mod analog faptul că presupunerea AC < AB este falsă deci nu putem avea decât egalitate.

Metoda 2

Știm că lungimea bisectoarei ia care pleacă din unghiul A este dată de următoarea relatie:

ia=2bc⋅cosA2b+ci_a=\frac{2bc\cdot cos\frac{A}{2}}{b+c}

Știm de asemenea că bisectoarele care pleacă din unghiurile B respectiv C sunt egale, deci vom avea:

ib=ic  ⟹    ⟹  2ac⋅cosB2a+c=2ab⋅cosC2a+b  ⟹    ⟹  c⋅cosB2a+c=b⋅cosC2a+b  ⟹    ⟹  cosB2cosC2=b⋅(a+c)c⋅(a+b)i_b = i_c \implies \\[1em]\implies \frac{\cancel{2a}c\cdot cos\frac{B}{2}}{a+c} =\frac{\cancel{2a}b\cdot cos\frac{C}{2}}{a+b} \implies \\[1em]\implies\frac{c\cdot cos\frac{B}{2}}{a+c} =\frac{b\cdot cos\frac{C}{2}}{a+b} \implies \\[1em]\implies\frac{ cos\frac{B}{2}}{cos\frac{C}{2}} =\frac{b\cdot( a+c)}{c\cdot (a+b)}

Vom aplica din nou metoda reducerii la absurd și vom presupune ca B > C, ceea ce însemnă că b > c.

b⋅(a+c)c⋅(a+b)=b⋅a+b⋅cc⋅a+c⋅bb⋅c=c⋅bb>c}  ⟹    ⟹  b⋅(a+c)c⋅(a+b)>1cosB2cosC2=b⋅(a+c)c⋅(a+b)}  ⟹    ⟹  cosB2cosC2>1  ⟹    ⟹  cosB2>cosC2\left . \begin{array}{ll} \dfrac{b\cdot( a+c)}{c\cdot (a+b)} = \dfrac{b\cdot a+ b\cdot c}{c\cdot a+c \cdot b} \\[2em] b\cdot c = c\cdot b\\[1em] b > c \end{array} \right \} \implies \\[1em] \left . \begin{array}{ll} \implies \dfrac{b\cdot( a+c)}{c\cdot (a+b)} > 1 \\[2em] \dfrac{ cos\frac{B}{2}}{cos\frac{C}{2}} =\dfrac{b\cdot( a+c)}{c\cdot (a+b)} \end{array} \right \} \implies \\[1em] \implies \dfrac{ cos\frac{B}{2}}{cos\frac{C}{2}} > 1 \implies \\[1em] \implies cos\frac{B}{2} > cos\frac{C}{2}

Știm că funcția cosinus este descrescătoare pe intervalul [0, π], deci vom avea:

B,C∈[0,π]  ⟹  B2,C2∈[0,π2]cosB2>cosC2}  ⟹    ⟹  B2<C2  ⟹  B<C\left . \begin{array}{ll} B, C \in [0,\pi] \implies \dfrac{B}{2} , \dfrac{C}{2} \in [0, \dfrac{\pi}{2}]\\[1em] cos\dfrac{B}{2} > cos\dfrac{C}{2} \\[1em] \end{array} \right \} \implies \\[1em] \implies \dfrac{B}{2} <\dfrac{C}{2} \implies {B} <{C}

B<C contrazice presupunerea făcută.

Vom presupune acum ca B>C și în mod analog vom demonstra că C<B. Deci din cele două presupuneri obținem că B = C deci triunghiul ABC este isoscel.

Pe aceeași temă

Transformarea gradelor în radiani.
Matematică

Transformarea gradelor în radiani

Anca
Matematică

Partea întreagă și partea fracționară a unui număr real

Anca