Ecuația de gradul 2, cunoscută și sub denumirea de ecuație quadratică, reprezintă unul dintre conceptele fundamentale ale algebrei și matematicii.

Forma generală pentru ecuația de gradul 2 este:

ax2 + bx+c = 0, a, b, c ∈ ℝ, a ≠ 0.

x este variabila, iar a, b și c sunt constante cu a ≠ 0.

Dacă a = 0, atunci ecuația devine ecuație de gradul întâi.


Mai spunem că:
– a este coeficientul termenului de grad doi sau pătratic
– b este coeficientul termenului de grad 1 sau liniar
– c este termenul constant sau termenul liber.

Pentru a rezolva ecuația de gradul 2 vom folosi formulele de mai jos:

x1=−b+Δ2a;x2=−b−Δ2a;Δ=b2−4acx_1= \dfrac{-b+\sqrt[]{\Delta}}{2a}; \\[1em]x_2= \dfrac{-b-\sqrt[]{\Delta}}{2a}; \\[1em] \Delta = b^2-4ac

De asemenea putem considera b = 2b’ și astfel vom avea următoarele formule de rezolvare:

Δ′=b′2−ac;  b=2b′;x1=−b′+Δ′a;x2=−b′−Δ′a; \Delta' = b'^2-ac; \ \ b = 2b'; \\[1em] x_1= \dfrac{-b'+\sqrt[]{\Delta'}}{a}; \\[1em]x_2= \dfrac{-b'-\sqrt[]{\Delta'}}{a};
Formulele lui François Viète pentru ecuația de gradul 2

Ne arata care sunt relațiile dintre coeficienții  ecuației algebrice de gradul al doilea și rădăcinile acesteia.

x1+x2=−ba;x1⋅x2=cax_1+x_2= -\dfrac{b}{a}; \\[1em]x_1\cdot x_2=\dfrac{c}{a}

În continuare vom nota cu S suma rădăcinilor x1 si x2 astfel S = x1+x2 și cu P produsul rădăcinilor x1 si x2. Astfel, P = x1·x2 și vom analiza atât natura cât și semnul rădăcinilor în funcție de semnele lui Δ (Δ = b2-4ac), P și S:

ΔPSNatura și semnul rădăcinilor
Δ<0––Rădăcini complexe
Δ=0––Rădăcini reale și egale
Δ>0P>0S>0Rădăcini reale pozitive
Δ>0P>0S<0Rădăcini reale negative
Δ>0P<0S>0Rădăcini reale, de semne contrare.
Rădăcina pozitivă este mai mare
decât valoare absolută a celei negative
Δ>0P<0S<0Rădăcini reale, de semne contrare.
Valoarea absolută a rădăcinii negative este mai mare
decât valoarea celei pozitive.
Ecuația de gradul 2 – Natura și semnul rădăcinilor
Formule utile
x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2=S2−2Px13+x23=(x1+x2)3−3x1x2(x1+x2)=S3−3SPx14+x24=(x12+x22)2−2x12x22=S4−4S2P+2P21x1+1x2=x1+x2x1⋅x2=SPx1x2+x2x1=x12+x22x1⋅x2=S2−2PP1x12+1x22=x12+x22(x1⋅x2)2=S2−2PP2x_1^2+x_2^2= (x_1+x_2)^2-2x_1x_2 = S^2 - 2P \\[1em]x_1^3+x_2^3= (x_1+x_2)^3-3x_1x_2(x_1+x_2) = S^3 - 3SP \\[2em] x_1^4+x_2^4= (x_1^2+x_2^2)^2-2x_1^2x_2^2 = S^4 - 4S^2P+2P^2 \\[2em] \dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=\dfrac{x_1+x_2}{x_1\cdot x_2}=\dfrac{S}{P}\\[2em] \dfrac{x_1}{x_2}+\dfrac{x_2}{x_1}=\dfrac{x_1^2+x_2^2}{x_1\cdot x_2}=\dfrac{S^2-2P}{P}\\[2em] \dfrac{1}{x_1^2}+\dfrac{1}{x_2^2}=\dfrac{x_1^2+x_2^2}{(x_1\cdot x_2)^2}=\dfrac{S^2-2P}{P^2}\\[2em]
Construirea unei ecuații de gradul 2 cand se cuonsc suma și produsul rădăcinilor ei:
x2−Sx+P=0x^2-Sx + P = 0
Descompunerea trinomului f(x) = ax2 + bx +c

Fie f(x) = ax2 + bx +c, f : ℝ → ℝ; a, b,c ∈ ℝ cu a ≠ 0 si x1 și x2 rădăcinile trinomului. Pe mulțimea numerelor reale aceasta ecuație admite maxim 2 soluții după cum urmează:

  1. în cazul Δ > 0, avem 2 rădăcini distincte f(x) = a(x-x1)(x-x2);
  2. în cazul Δ = 0, cele 2 rădăcini coincid f(x) = a(x-x1)2;
  3. în cazul Δ < 0, nu avem soluții reale f(x) = ax2 + bx +c.
Semnul funcției

În continuare vom analiza semnul funcției f(x) = ax2 + bx +c, f : ℝ → ℝ; a, b,c ∈ ℝ cu a ≠ 0, în funcție de valorile lui Δ.
Vom nota sgn funcția semn.

Δ > 0; presupunem că x1 < x2
x−∞x1x2+∞f(x)sgn(a) 0-sgn(a) 0sgn(a) \begin{array}{|c|l c c c r|} \hline \\ x &- \infty &x_1& & x_2&+\infty \\[1em] \hline \\f(x) &\text{sgn(a) }&0&\text{-sgn(a) } &0&\text{sgn(a) }\\[1em] \\\hline \end{array}
Δ = 0 caz în care rădăcinile sunt egale
x−∞x1=x2+∞f(x)sgn(a) 0sgn(a) \begin{array}{|c|l c r|} \hline \\ x &- \infty &x_1= x_2&+\infty \\[1em] \hline \\f(x) &\text{sgn(a) }&0&\text{sgn(a) }\\[1em] \\\hline \end{array}
Δ < 0 caz în care nu avem rădăcini reale
x−∞+∞f(x)sgn(a)\begin{array}{|c|l c r|} \hline \\ x &- \infty &&+\infty \\[1em] \hline \\f(x)& &\text{sgn(a)}&\\[1em] \\\hline \end{array}
Graficul funcției

Graficul funcției f(x) = ax2 + bx +c, f : ℝ → ℝ; a, b,c ∈ ℝ cu a ≠ 0 este o parabolă.

Punctele de intersecție cu axa 0x reprezintă soluțiile pentru ecuația de gradul 2:

ax2 + bx +c = 0.

Punctul de intersecție cu axa 0y se obține pentru f(0) care va fi c.

Teoremă

Două ecuații de gradul al doilea ax2+ bx + c = 0 și a’x2+ b’x + c’ = 0 au aceleași rădăcini dacă și numai dacă au coeficienții proporționali a = ka’, b = kb’, c = kc’ unde k ∈ ℝ*

Forma canonică

Fie ecuația de gradul al doilea ax2+ bx + c = 0 cu a, b, c ∈ ℝ, a ≠ 0. Dacă împărțim ecuația inițială cu a avem:

x2+ba⋅x+ca=0x^2 + \dfrac{b}{a}\cdot x + \dfrac{c}{a} = 0

Dacă notăm
p=baq=ca \begin{alignedat}{2} p = \dfrac{b}{a} \\[2em] q = \dfrac{c}{a} \end{alignedat}
obținem forma canonică
x2+px+q=0 \begin{alignedat}{2} x^2+ px+ q =0 \end{alignedat} \\

Rădăcinile ecuației x2 + px + q = 0 p, q ∈ ℝ exprimate cu ajutorul funcțiilor trigonometrice

vom nota cu x1, x2 rădăcinile ecuației și cu sgn funcția semn.

x1,2=−p±p2−4q2saux1,2=−p2(1±1−4qp2)     cu Δ=p2−4qx_{1,2}=\dfrac{-p \pm \sqrt{p^2-4q}}{2} \\[2em] \text{sau}\\[2em] x_{1,2}=-\dfrac{p}{2}\bigg(1 \pm \sqrt{1-\dfrac{4q}{p^2}}\bigg)\\ \ \\ \ \\ \ \ \text{ cu } \Delta = p^2-4q

Daca Δ>0 cu q < 0

 Formula lui θx1x2tgθ=2−q∣p∣sgn(p)⋅−q⋅tgθ2−sgn(p)⋅−q⋅ctgθ2\begin{array}{|c|c|c|} \hline \ \textbf{Formula lui }\theta &x_1&x_2\\ \hline \\ tg \theta = \dfrac{2\sqrt{-q}}{|p|} &sgn(p)\cdot\sqrt{-q}\cdot tg\dfrac{\theta}{2}&-sgn(p)\cdot\sqrt{-q}\cdot ctg\dfrac{\theta}{2}\\[1em] \hline \end {array}

Daca Δ>0 cu q > 0

 Formula lui θx1x2sinθ=2q∣p∣−sgn(p)⋅q⋅tgθ2−sgn(p)⋅q⋅ctgθ2\begin{array}{|c|c|c|} \hline \ \textbf{Formula lui }\theta &x_1&x_2\\ \hline \\ sin \theta = \dfrac{2\sqrt{q}}{|p|} &-sgn(p)\cdot\sqrt{q}\cdot tg\dfrac{\theta}{2}&-sgn(p)\cdot \sqrt{q}\cdot ctg\dfrac{\theta}{2}\\[1em]\hline \end {array}

Daca Δ<0

 qFormula lui θx1x2q>0cosθ=∣p∣2qq⋅eiθq⋅e−iθ\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \ \textbf{q} & \textbf{Formula lui }\theta &x_1&x_2\\ \hline \\ q \gt 0 & cos \theta = \dfrac{|p|}{2\sqrt{q}} &\sqrt{q}\cdot e^{i\theta} &\sqrt{q}\cdot e^{-i\theta} \\[1em] \hline \end {array}

Pe aceeași temă

Transformarea gradelor în radiani.
Matematică

Transformarea gradelor în radiani

Anca
Matematică

Partea întreagă și partea fracționară a unui număr real

Anca