Teorema lui Viviani spune că suma distanțelor de la un punct P din interiorul unui triunghi echilateral la laturile triunghiului este egală cu înălțimea triunghiului.
Vincenzo Viviani a descoperit această teoremă acum mai bine de 300 de ani. Acesta a trăit în Florența între anii 1622 și 1703. A lucrat în slujba Marelui Duce al Toscanei Ferdinand al II-lea de Medici, fiind asistentul lui Galileo Galilei și student al lui Evangelista Torricelli. În anul 1660 realizează și un experiment prin care calculează viteza sunetului ca fiind 350 m/s, obținând o valoare mai precisă, apropiată de cea acceptată în prezent, de 340 m/s la nivelul mării.
Demonstrație
Teorema lui Viviani se demonstrează relativ simplu. Să notăm cu x, y și z distanțele de la punctul P la laturile triunghiului, cu a lungimea laturii triunghiului echilateral și cu h înălțimea acestuia. Aria triunghiului este egală cu suma ariilor triunghiurilor formate unind punctul P cu fiecare vârf al triunghiului.
\frac{a\cdot h}{2} = \frac{a\cdot x}{2} + \frac{a\cdot y}{2}+ \frac{a\cdot z}{2}De aici, rezultă că înălțimea triunghiului este egală cu suma distanțelor de la P la laturi.
h = x + y + z
Reciproca teoremei lui Viviani
Reciproca teoremei lui Viviani este și ea adevărată. Cu alte cuvinte, dacă suma distanțelor de la un punct din interiorul unui triunghi la laturile acestuia nu depinde de poziția punctului respectiv, atunci triunghiul este echilateral.
Vezi și 10 formule pentru a calcula aria triunghiului (oarecare).
[the_ad_group id=”102″]
