Scurtă istorie a lui π – origini, formule, zecimale

După anul 2009, toate recordurile au fost doborâte folosind calculatoare personale și componente disponibile în magazine. Recordul curent datează din 29 ianuarie 2020. Pentru a descoperi cele 5×10¹³ zecimale, patru procesoare Intel Xeon E7-4880, funcționând la 2.5 GHz, au muncit din greu timp de 303 zile. Dacă am scrie fiecare din aceste zecimale într-un spațiu de 1 cm, am acoperi distanța de la Pământ la Lună și înapoi… de 650 de ori.

Cum se calculează pi?

Dar până la urmă, de ce este atât de complicat să stabilim valoarea lui pi? Am putea să desenăm un cerc, să îi măsurăm circumferința cu o sfoară și diametrul cu o linie, facem raportul și îl obținem, nu? În realitate lucrurile nu stau așa simplu, și asta din cauza imperfecțiunii uneltelor folosite. Dacă în calculele mai puțin complexe ne putem folosi de aproximarea de 3 sau 3,14, nu la fel stau lucrurile pentru stabilirea orbitei sateliților, de pildă.

Prima metodă riguroasă de calcul al lui π a fost cea dezvoltată de Arhimede. Aproximarea folosind poligoane a fost folosită timp de peste 1000 de ani. Mai apoi, începând din secolele 16-17, au fost descoperite serii sau produse infinite care converg către valori din care poate fi dedus π. Cu cât se calculează mai mulți termeni, cu atât se ajunge la o aproximare mai precisă. În Europa, prima astfel de formulă a fost un produs descoperit de matematicianul francez Francois Viete în anul 1593:

\frac{2}{\pi} = \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\cdot\\\;\\\cdot\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2}\cdot\ldots

Aceasta a fost urmată de cea descoperită de John Wallis în 1655.

\frac{\pi}{2} = \lparen\frac{2}{1}\cdot\frac{2}{3}\rparen\cdot\lparen\frac{4}{3}\cdot\frac{4}{5}\rparen\cdot\lparen\frac{6}{5}\cdot\frac{6}{7}\rparen\cdot\\\;\\\cdot\lparen\frac{8}{7}\cdot\frac{8}{9}\rparen\cdot\ldots

Alte astfel de formule de calcul sunt:

\pi = \frac{4}{1}-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\\\;\\-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}+\frac{4}{13} -\ldots\\\;\\\small{(Gregory-Leibniz, 1671, 1674)}\\\;\\\;\\\normalsize\pi=3+\frac{4}{2\cdot3\cdot4}-\frac{4}{4\cdot5\cdot6}+\\\;\\+\frac{4}{6\cdot7\cdot8}-\frac{4}{8\cdot9\cdot10}+\ldots\\\;\\\small (Nilakantha, sec. XV)

După apariția calculatoarelor, termenii acestor secvențe au putut fi calculați mult mai rapid. Mai mult, în anii ’70-’80, au apărut algoritmi care, la fiecare iterație, multiplică numărul de cifre descoperite la pasul anterior. De exemplu, algoritmul Gauss-Legendre/Brent-Salamin dublează numărul de zecimale găsit la fiecare pas.

De ce ne trebuie atâtea zecimale?!

Este adevărat că pentru majoritatea calculelor ne sunt suficiente câteva zecimale ale lui pi. Primele patruzeci ar fi de ajuns pentru calculul dimensiunilor universului observabil cu o precizie de un atom. Cu toate acestea, încercăm mereu să găsim miliarde și miliarde de zecimale în plus. Pe de-o parte, această căutare ne ajută să testăm performanțele supercalculatoarelor zilelor noastre. Pe de alta, oamenii au fost mereu animați de dorința de a depăși noi recorduri. La fel cum, întrebat de ce vrea să escaladeze Everestul, George Mallory, unul dintre primii alpiniștii britanicii ce au explorat masivul în secolul trecut, răspundea: “Pentru că există”.