Problemă rezolvată dintre subiectele propuse pentru clasa a X-a la ONGM 2020-2021.
Enunț
Dacă a= log1421 b= log146 atunci numărul x =log1442 este egal cu:
A.\ \dfrac{a+b}{2} \ \ \ B. \ \dfrac{a+b+1}{2} \ \ \ C. \ \dfrac{a+b-1}{2} \\\;\\ D. \ \dfrac{a+b+3}{2} \qquad E. \ \dfrac{a+b-2}{2} \qquad\qquad
Rezolvare
2 \cdot \log_{14}42 = \log_{14}(42^2) =\\ \;\\ =\log_{14}(42 \cdot 42) = \\ \;\\ =\log_{14}(21 \cdot 2 \cdot 6 \cdot 7) = \\ \;\\ = \log_{14}(21 \cdot 6 \cdot (2 \cdot 7)) = \\ \;\\ =\log_{14}21 + \log_{14}6 + \log_{14}14 \implies \\ \;\\ \implies2 \cdot x = a + b + 1 \implies \\\;\\ \implies x = \dfrac{a+b+1}{2} Am făcut acesta alegere pornind de la descompunerea în factori primi pentru 14, 21, 6 și 42 (14 = 2 ⋅ 7, 21 = 3 ⋅ 7, 6 = 2⋅3 și 42 = 6 ⋅ 7). Pornind de la această descompunere observăm că 42 ⋅ 42 = (2⋅3⋅7)⋅(2⋅3⋅7). Dacă vom regrupa termenii (42 ⋅42 =(2 ⋅3)⋅(7 ⋅2) ⋅(3⋅7) ) vom putea aplica ușor proprietățile logaritmilor pentru a-l calcula pe x.
Răspunsul căutat este B.
