Probleme de matematică

Problema rezolvată #31 – ONGM 2020-2021

Anca

Problemă rezolvată dintre subiectele date la clasa a XII-a la ONGM 2020-2021, București.

Enunț

Dacă a a este partea întreagă a numărului b=∫23xlnxdx  b = \displaystyle {\int _2^{3}\dfrac{x}{lnx} dx } \ atunci:A. a=0B. a=1C. a=2D. a=3E. a=4\\[1em] A. \ a = 0 \quad B. \ a = 1 \\ C.\ a = 2 \quad D.\ a = 3 \\E. \ a = 4

Rezolvare

Pentru a rezolva aceasta problemă vom aplica teorema de medie

f:[m,n]→R, funcție continua˘   ⟹    ⟹  (∃) q∈[m,n],a. ıˆ ∫mnf(x)dx=(n−m)⋅f(q)f : [m, n] \to \mathbf R, \textbf{ funcție continuă }\implies \\ \\[1em] \implies (\exists)\ q \in [m, n], \text{a. î} \\[1em] \ \int _m^{n} f(x) dx = (n-m)\cdot f(q)
xlnx este continua˘ pe intervalul [2, 3]  ⟹  (∃) c∈[2,3],a. ıˆ∫23f(x)dx=(3−2)⋅f(c)  ⟹    ⟹  b=clnc\dfrac{x}{lnx} \text{ este continuă pe intervalul [2, 3]} \implies \\ (\exists)\ c \in [2, 3], \text{a. î} \\[1em] \int _2^{3} f(x) dx = (3-2)\cdot f(c) \implies \\[1em] \implies b = \dfrac{c}{lnc}

În continuare vom vom studia monotonia funcției f.

f(x)=xlnx,f:[2,3]→Rf(x) = \dfrac{x}{lnx}, f: [2, 3] \to \mathbf R

f este derivabilă deoarece x și ln x sunt derivabile pe [2,3].

f′(x)=(xlnx)′==x′⋅lnx−x⋅(lnx)′ln2x=  =1⋅lnx−x⋅1xln2x=lnx−1ln2xf'(x) = \bigg(\dfrac{x}{lnx}\bigg)' = \\[1em] =\dfrac{x' \cdot lnx - x \cdot (lnx)'}{ln^2x} = \\ \; \\=\dfrac{1 \cdot lnx - \cancel x \cdot \dfrac{1}{\cancel x}}{ln^2x} = \dfrac{lnx - 1}{ln^2x}

Semnul lui f'(x) va fi dat de valorea lui lnx -1 (ln2x este mereu pozitiv). Funcția ln x- 1 este crescătoare și este 0 când x este e. e aparține intervalului [2, 3]. Vom analiza monotonia în tabelul de mai jos:

x2     e     3f(x)2ln2↘e↗3ln3f′(x)−−−−0++++\begin{array}{|r|c|c|c|l|l|l|l| } \hline x &2\ \ \ \ \ &e &\ \ \ \ \ 3 \\ \hline f(x) &\frac{2}{ln2}\searrow &e& \nearrow \frac{3}{ln3}\\\hline f'(x) &---- &0 &++++\\ \hline \end{array}

Studiind monotonia funcției observăm că f are un punct de minim în e, iar valorile funcției vor fi mai mari decât f(e) care este e și sunt mai mici decât valoarea maxima dintre f(2) și f(3). Presupunem f(2) < f(3).

2ln2<3ln3  ⟺  2⋅ln3<3⋅ln2  ⟺    ⟺  ln32<ln23⋅9<8 (fals)  ⟹    ⟹  2ln2>3ln3  ⟹    ⟹  (∀)x∈[2,3],   e≤f(x)≤2ln2\dfrac{2}{ln2} < \dfrac{3}{ln3} \iff 2\cdot ln3 < 3 \cdot ln2\iff \\[1em] \iff ln 3^2 < ln 2^3 \cdot 9 < 8\ (fals) \implies \\[1em] \implies\dfrac{2}{ln2} > \dfrac{3}{ln3} \implies \\[1em] \implies (\forall) x \in [2, 3],\ \ \ e \leq f(x) \leq \dfrac{2}{ln2}

În continuare vom demonstra că f(2) < 3:

2ln2<3  ⟺  2<3⋅ln2  ⟺    ⟺  2<ln23  ⟺  lne2<ln23  ⟺    ⟺  e2<23e≈2.71,  ⟹  e2≈7.389\dfrac{2}{ln2} < 3 \iff 2 < 3 \cdot ln 2\iff \\[1em] \iff 2 < ln 2^3 \iff ln e^2 < ln 2^3 \iff \\[1em] \iff e^2 < 2^3 \\[1em] e \approx 2.71, \implies e^2 \approx 7.389

Am demonstrat ca e ≤ f(x) < 3 pentru oricare x ∈ [2,3]

e≤f(x)<3,(∀)x∈[2,3]b=f(c), c∈[2,3]}  ⟹    ⟹  2≤b<3  ⟹    ⟹  [b]=2\left . \begin{array}{ll} e \leq f(x) <3, (\forall) x \in [2,3] \\[1em] b = f(c), \ c \in [2,3] \end{array} \right \} \implies \\[1em] \implies 2\leq b < 3 \implies \\[1em] \implies [b] = 2

Răspunsul corect este C, 2.

Pe aceeași temă

Probleme de matematică

Problemă rezolvată #42 – geometrie problemă cu romb

Anca
Probleme de matematică

Problemă rezolvată #41 – pregătire evaluare națională să se găsească numărul xyz

Anca