Problemă rezolvată dintre subiectele propuse pentru clasa a XI-a la ONGM 2020-2021.
Enunț
Fie p un număr natural nenul. Valoarea limitei
\displaystyle{\lim_{n\to\infty} } \bigg(\dfrac{1^p + 2^p + ... + n^p}{n^p} - \dfrac{n}{p +1}\bigg)este:
\text{A. }\dfrac{1}{2} \qquad \text{B. } \dfrac{p}{2} \qquad \text{C. } -p \qquad \text{D. } \dfrac{1}{C_p^2} \qquadRezolvare
\dfrac{1^p + 2^p + ... + n^p}{n^p} - \dfrac{n}{p +1} = \\\;\\= \dfrac{(p+1)(1^p + 2^p + ... + n^p) - n^{p+1}}{(p+1)\cdot n^p} Aplicăm lema Stolz-Cesaro (Otto Stolz, 1842-1905; Ernesto Cesaro, 1859-1906).
Considerăm:
an = (p+1)(1p + 2p + … + np) – np+1 și
bn = (p+1)· np, p ≥ 1 ⇒ bn este șir strict crescător și nemărginit cu termeni nenuli.
În continuare vom considera
c_n = \dfrac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n} \\ și vom calcula:
\\\displaystyle{\lim_{n\to\infty} } c_n. \\ \;\\Observăm că atât an+1– an cât și bn+1 -bn sunt polinoame iar limita o vom putea afla calculând gradul fiecărui polinom, dat de termenul de grad maxim.
a_{n+1}-a_n =
(p+1)(1^p + ... + n^p + (n+1)^p) -\\- (n+1)^{p+1} - ( (p+1)(1^p + ... + n^p) - n^{p+1}) = \\ \;\\ = (p+1)(1^p + ... + n^p + (n+1)^p) - \\-(p+1)(1^p + ... + n^p) + n^{p+1} - (n+1)^{p+1} = \\ \;\\ = (p+1)[1^p + ... + n^p + (n+1)^p -\\- (1^p + 2^p + ... + n^p)] + n^{p+1} - (n+1)^{p+1} = \\ \;\\ = (p+1)[\cancel {1^p} + \cancel {2^p} + ... + \cancel {n^p} + (n+1)^p - \\- \cancel {1^p} - \cancel {2^p} - ... - \cancel {n^p)}] + n^{p+1} - (n+1)^{p+1} = \\ \;\\ = (p+1)\cdot(n+1)^p + n^{p+1} - (n+1)^{p+1} În continuare ne vom aplica binomul lui Newton pentru a calcula (n+1)p și (n+1)p+1 și vom avea:
a_{n+1}-a_n = (p+1)\cdot \sum_{k=0}^p C_p^k\cdot n^k +\\+ \ n^{p+1} -\sum_{k=0}^{p+1} C_{p+1}^k \cdot n^k = \\ \;\\ = (p+1)\cdot(n^p + C_p^{p-1}n^{p-1} + ...+ 1)+\\ + n^{p+1} - (n^{p+1} + C_{p+1}^{p}n^{p} + C_{p+1}^{p-1}n^{p-1} +...+ 1) = \\ \;\\ = (p+1)\cdot(n^p + C_p^{p-1}n^{p-1} + ...+ 1) + \\ \cancel{n^{p+1}} - \cancel {n^{p+1}} - C_{p+1}^{p}n^{p} - C_{p+1}^{p-1} \cdot n^{p-1}...- 1Ne va interesa în continuare să găsim termenul de rang maxim deoarece el ne va ajuta în stabilirea valorii limitei.
a_{n+1}-a_n = (p+1 - C_{p+1}^{p}) \cdot n^{p}+\\+ [(p+1)C_{p}^{p-1} - C_{p+1}^{p-1}]\cdot n^{p-1}+... =\\ \;\\ \\ = (p+1 - {\dfrac{(p+1)!}{p!}})\cdot n^{p}+ [(p+1)\dfrac{p!}{(p-1)!} - \\-\dfrac{(p+1)!}{(p-1)!\cdot (p+1 - (p-1))!}]\cdot n^{p-1}+... = \\ \;\\ \\= (p+1 - (p+1)) \cdot n^p + \\ +[(p+1) \cdot {p
} - \dfrac{(p+1)!}{(p-1)!\cdot (2)!}]\cdot n^{p-1}+... =\\ \;\\ = [(p+1) \cdot {p
} - \dfrac{p\cdot(p+1)}{2}]\cdot n^{p-1}+... = \\ \;\\ = \dfrac{p\cdot(p+1)}{2}\cdot n^{p-1} +...Pentru a calcula bn+1 -bn vom folosi din nou binomul lui Newton.
b_{n+1}-b_n = \\ \;\\ =(p+1)\cdot (n+1)^p - (p+1)\cdot n^p = \\ \;\\= (p+1)\cdot [(n+1)^p - n^p] = \\ \;\\ =(p+1)\cdot [ \sum_{k=0}^p C_p^k\cdot n^k - n^p] = \\ \;\\= (p+1)\cdot [\cancel{n^p} + C_p^{p-1}n^{p-1} + ...+ 1 - \cancel{n^p} ]= \\ \;\\ =(p+1)\cdot\dfrac{p!}{(p-1)! \cdot (p-(p-1))!}\cdot n^{p-1}+...= \\ \;\\= (p+1)\cdot\dfrac{p}{1!}\cdot n^{p-1}+...=\\ \;\\= (p+1)\cdot p \cdot n^{p-1}+.. \\ \;\\Observăm că termenii de grad maxim ai ambelor polinoame sunt egali deci limita șirului cn o vom afla calculând raportul coeficienților termenilor de grad maxim.
\displaystyle{\lim_{n\to\infty} } c_n = \\ \;\\= \displaystyle{\lim_{n\to\infty} } \dfrac{ \dfrac{p\cdot(p+1)}{2}\cdot n^{p-1} +...}{(p+1)\cdot p \cdot n^{p-1}+.. } = \\ \;\\ = \dfrac{\dfrac{p\cdot(p+1)}{2}}{(p+1)\cdot p } = \\ \;\\ =\dfrac{\cancel {p\cdot(p+1)}}{2 \cdot \cancel{(p+1)\cdot p}} = \dfrac{1}{2} \\ \;\\
Aplicăm lema Stolz Cesaro și deoarece c_n are limită atunci și șirul
\dfrac{a_n}{b_n}
are limită și este \dfrac{1}{2}
Răspunsul este A, \dfrac{1}{2}.
