Problemă rezolvată dintre subiectele propuse pentru clasa a X-a la ONGM 2020-2021.
Enunț
Valoarea limitei:
\displaystyle{\lim_{n\to\infty} } \bigg(\dfrac{1}{3 \cdot 5} + \dfrac{1}{5 \cdot 7}+ \dfrac{1}{7 \cdot 9}+... +\dfrac{1}{(2n+1)(2n+3)} \bigg)este:
\text{A. }\dfrac{1}{6} \qquad \text{B. } \dfrac{1}{3} \qquad \text{C. } \dfrac{1}{2} \qquad \text{D. } 0 \qquad
Rezolvare
Începem prin a găsi forma termenului general al sumei date:
\dfrac{1}{3 \cdot 5} + \dfrac{1}{5 \cdot 7}+ ... +\dfrac{1 }{(2n+1)(2n+3)} Suma de mai sus se poate scrie folosind scrierea simplificată cu ∑ ca:
\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{(2k+1)(2k+ 3)} Deoarece numitorul este scris ca produs de doua numere impare consecutive, vom căuta să transformăm suma dată într-o sumă telescopică. Vom căuta două numere A și B care să satisfacă simultan relațiile:
\dfrac{1}{(2k+1)(2k+3)}= \dfrac{A}{2k+1} +\dfrac{B}{2k+3} \\[2em]
A+B=0
\dfrac{1}{(2k+1)(2k+3)}= \dfrac{A}{2k+1} +\dfrac{B}{2k+3} \Leftrightarrow \\ \; \\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{(2k+1)(2k+3)}= \\ \; \\ =\dfrac{A \cdot (2k+3) }{(2k+1)(2k+3)} + \dfrac{B \cdot (2k+1)}{(2k+1)(2k+3)} \Leftrightarrow \\ \; \\ \Leftrightarrow 1 = A \cdot (2k+3) + B \cdot (2k+1) \Leftrightarrow \\ \; \\ \Leftrightarrow 1 = A \cdot 2k+3\cdot A + B \cdot 2k+B \Leftrightarrow \\ \; \\ \Leftrightarrow 1 = (A+B)\cdot 2k + 3A +B \Leftrightarrow \\ \; \\ \Leftrightarrow \left\{
\begin{array}{ll}
A + B = 0\\\;\\
3 \cdot A +B = 1
\end{array}
\right . \Leftrightarrow \\ \; \\ \Leftrightarrow \left\{
\begin{array}{ll}
A = -B\\\;\\
3 \cdot A +B = 1
\end{array}
\right . \Leftrightarrow \\ \; \\ \Leftrightarrow \left\{
\begin{array}{ll}
B = -A\\\;\\
3 \cdot A -A = 1
\end{array}
\right . \Leftrightarrow \\ \; \\ \Leftrightarrow \left\{
\begin{array}{ll}
B = -A\\\;\\
2 \cdot A = 1
\end{array}
\right .
\Leftrightarrow \\ \; \\ \Leftrightarrow \left\{
\begin{array}{ll}
B = -A\\\;\\
A = \dfrac{1}{2}
\end{array}
\right .\newline \newline \newline
Am găsit astfel A și B care să satisfacă relațiile dorite, deci putem scrie termenul general al sumei ca:
\\\dfrac{1}{(2k+1)(2k+3)}= \\ \; \\= \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2k+1} -\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{2k+3}= \\ \; \\= \dfrac{1}{2}\cdot \bigg( \dfrac{1}{2k+1} - \dfrac{1}{2k+3} \bigg) \\ \; \\
Iar suma o vom putea scrie ca o sumă telescopică:
\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{(2k+1)(2k+ 3)} = \\ \;\\ = \dfrac{1}{2}\cdot \displaystyle\sum_{k=1}^{n} \bigg( \dfrac{1}{2k+1} - \dfrac{1}{2k+3} \bigg) \\ \; \\
\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \bigg( \dfrac{1}{2k+1} - \dfrac{1}{2k+3} \bigg) =
\newline \newline \newline
= \dfrac{1}{3} - \cancel{\dfrac{1}{5}} +\\ \; \\ + \cancel{\dfrac{1}{5} } - \cancel{\dfrac{1}{7}} + \\ \; \\ + \cancel{\ \ } ... \cancel{\ \ }+ \\ \; \\
+ \cancel{\dfrac{1}{2n-1}} - \cancel{\dfrac{1}{2n+1}} \\ \; \\
+ \cancel{\dfrac{1}{2n+1}} - \dfrac{1}{2n+3} = \\ \; \\ = \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{2n+3} \implies \\ \; \\ \implies \displaystyle\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{(2k+1)(2k+ 3)} = \\ \; \\ =\dfrac{1}{2}\cdot \bigg(\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{2n+3}\bigg) Acum vom putea calcula limita dorită deoarece am găsit valoarea sumei.
\displaystyle{\lim_{n\to\infty} } \bigg(\dfrac{1}{3 \cdot 5} + \dfrac{1}{5 \cdot 7}+ ... +\dfrac{1}{(2n+1)(2n+3)} \bigg) = \\ \; \\ =\displaystyle{\lim_{n\to\infty} } \dfrac{1}{2}\cdot \bigg(\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{2n+3}\bigg) = \\ \; \\ =\dfrac{1}{6} - \displaystyle{\lim_{n\to\infty} } \dfrac{1}{2n+3} = \\ \; \\ = \dfrac{1}{6} - 0 = \dfrac{1}{6} \text{Răspunsul este } \textbf{A}, \dfrac{1}{6}. \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad 
