Probleme de matematică

Problema rezolvată #30 – ONGM 2020-2021

Anca

Problemă rezolvată dintre subiectele propuse pentru clasa a XI-a la ONGM 2020-2021.

Enunț

Valoarea limitei:

lim⁡n→∞(nn2+n+1)n−1\displaystyle{\lim_{n\to\infty}} \bigg( \dfrac{n}{\sqrt[]{n^2 + n + 1}}\bigg)^{n-1}

este:

A. 1eB. e2C. 1D. ∞ \text{A. }\dfrac{1}{\sqrt[]{e}} \qquad \text{B. } e^2\qquad \text{C. } 1 \qquad \text{D. } \infty \qquad
Rezolvare

Știm că:

lim⁡n→∞xn=0  ⟹  lim⁡n→∞ (1+xn)1xn=e\displaystyle{\lim_{n\to\infty}}x_n = 0 \implies \displaystyle{\lim_{n\to\infty}} \ ( 1+ x_n) ^{\dfrac{1}{x_n}} = e\\[1em]

Încercăm să scriem șirul inițial astfel încât să ne folosim de această proprietate.

nn2+n+1=1n2+n+1n=  =1n2+n+1n2=11+n+1n2=  =1(1+n+1n2)12   \dfrac{n}{\sqrt[]{n^2 + n + 1}} = \dfrac{1}{\dfrac{\sqrt[]{n^2 + n + 1}}{n}} = \\ \; \\=\dfrac{1}{\sqrt[]{\dfrac{n^2 + n + 1}{n^2}}}=\dfrac{1}{\sqrt[]{1 + \dfrac{n + 1}{n^2}}}= \\ \; \\=\dfrac{1}{\bigg( 1 + \dfrac{n + 1}{n^2} \bigg) ^{\frac{1}{2}} } \\ \; \\

Vrem să transformăm exponentul ½ astfel încât să aducem șirul de la numitor în forma menționată mai sus. Utilizăm un artificiu și obținem:

(1+n+1n2)12=((1+n+1n2)n2n+1)n+12⋅n2  \\\bigg( 1 + \dfrac{n + 1}{n^2} \bigg) ^{\frac{1}{2}} = \bigg( \bigg( 1 + \dfrac{n + 1}{n^2} \bigg) ^{\frac{n^2}{n+1}} \bigg)^{\frac{n+1}{2\cdot n^2}} \\ \; \\

Rezultă că:

lim⁡n→∞(nn2+n+1)n−1=  =lim⁡n→∞ 1((1+n+1n2)n2n+1)(n+1)(n−1)2⋅n2=  =1lim⁡n→∞((1+n+1n2)n2n+1)(n+1)(n−1)2⋅n2=  =1(lim⁡n→∞(1+n+1n2)n2n+1)lim⁡n→∞(n+1)(n−1)2⋅n2lim⁡n→∞n+1n2=0  ⟹    ⟹  lim⁡n→∞(1+n+1n2)n2n+1=e}  ⟹      ⟹  lim⁡n→∞ nn2+n+1=1elim⁡n→∞(n+1)(n−1)2⋅n2  lim⁡n→∞(n+1)(n−1)2⋅n2=12}  ⟹      ⟹  lim⁡n→∞ nn2+n+1=1e12  ⟹      ⟹  lim⁡n→∞ nn2+n+1=1e \displaystyle{\lim_{n\to\infty}}\bigg( \dfrac{n}{\sqrt[]{n^2 + n + 1}}\bigg)^{n-1}= \\ \; \\ =\displaystyle{\lim_{n\to\infty}} \ \dfrac{1}{\bigg( \bigg( 1 + \dfrac{n + 1}{n^2} \bigg) ^{\frac{n^2}{n+1}} \bigg)^{\frac{(n+1)(n-1)}{2\cdot n^2}} } = \\ \; \\ = \dfrac{1}{ \displaystyle{\lim_{n\to\infty}} \bigg( \bigg( 1 + \dfrac{n + 1}{n^2} \bigg) ^{\frac{n^2}{n+1}} \bigg)^{\frac{(n+1)(n-1)}{2\cdot n^2}} } = \\ \; \\ \left. \begin{array}{ll} = \dfrac{1}{ \bigg(\displaystyle{\lim_{n\to\infty}} \bigg( 1 + \dfrac{n + 1}{n^2} \bigg) ^{\frac{n^2}{n+1}} \bigg)^ { {\displaystyle {\lim_{n\to\infty}}} \frac{(n+1)(n-1)}{2\cdot n^2}}}\\ \\ \displaystyle{\lim_{n\to\infty}} \dfrac{n + 1}{n^2}= 0 \implies \\\implies \displaystyle{\lim_{n\to\infty}} \bigg( 1 + \dfrac{n + 1}{n^2} \bigg) ^{\frac{n^2}{n+1}} = e \newline \end{array} \right \} \implies \\ \; \\ \left. \begin{array}{ll} \implies \displaystyle{\lim_{n\to\infty}} \ \dfrac{n}{\sqrt[]{n^2 + n + 1}} = \dfrac{1}{e ^ { {\displaystyle {\lim_{n\to\infty}}} \frac{(n+1)(n-1)}{2\cdot n^2}}} \\ \; \\ \qquad{\displaystyle {\lim_{n\to\infty}}} \frac{(n+1)(n-1)}{2\cdot n^2} =\dfrac{1}{2} \end{array} \right \} \implies \\ \; \\ \implies \displaystyle{\lim_{n\to\infty}} \ \dfrac{n}{\sqrt[]{n^2 + n + 1}} = \dfrac{1}{e ^\frac{1}{2} } \implies \\ \; \\ \implies \displaystyle{\lim_{n\to\infty}} \ \dfrac{n}{\sqrt[]{n^2 + n + 1}} = \dfrac{1}{\sqrt []e}
Ra˘spunsul este A,1e. \text{Răspunsul este } \textbf{A}, \dfrac{1}{\sqrt []e} . \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad

Pe aceeași temă

Probleme de matematică

Problemă rezolvată #42 – geometrie problemă cu romb

Anca
Probleme de matematică

Problemă rezolvată #41 – pregătire evaluare națională să se găsească numărul xyz

Anca