Problemă rezolvată dintre subiectele propuse pentru clasa a XI-a la ONGM 2020-2021.
Enunț
Valoarea limitei:
\displaystyle{\lim_{n\to\infty}} \bigg( \dfrac{n}{\sqrt[]{n^2 + n + 1}}\bigg)^{n-1}este:
\text{A. }\dfrac{1}{\sqrt[]{e}} \qquad \text{B. } e^2\qquad \text{C. } 1 \qquad \text{D. } \infty \qquadRezolvare
Știm că:
\displaystyle{\lim_{n\to\infty}}x_n = 0 \implies \displaystyle{\lim_{n\to\infty}} \ ( 1+ x_n) ^{\dfrac{1}{x_n}} = e\\[1em]Încercăm să scriem șirul inițial astfel încât să ne folosim de această proprietate.
\dfrac{n}{\sqrt[]{n^2 + n + 1}} = \dfrac{1}{\dfrac{\sqrt[]{n^2 + n + 1}}{n}} = \\ \; \\=\dfrac{1}{\sqrt[]{\dfrac{n^2 + n + 1}{n^2}}}=\dfrac{1}{\sqrt[]{1 + \dfrac{n + 1}{n^2}}}= \\ \; \\=\dfrac{1}{\bigg( 1 + \dfrac{n + 1}{n^2} \bigg) ^{\frac{1}{2}} } \\ \; \\
Vrem să transformăm exponentul ½ astfel încât să aducem șirul de la numitor în forma menționată mai sus. Utilizăm un artificiu și obținem:
\\\bigg( 1 + \dfrac{n + 1}{n^2} \bigg) ^{\frac{1}{2}} = \bigg( \bigg( 1 + \dfrac{n + 1}{n^2} \bigg) ^{\frac{n^2}{n+1}} \bigg)^{\frac{n+1}{2\cdot n^2}} \\ \; \\Rezultă că:
\displaystyle{\lim_{n\to\infty}}\bigg( \dfrac{n}{\sqrt[]{n^2 + n + 1}}\bigg)^{n-1}= \\ \; \\ =\displaystyle{\lim_{n\to\infty}} \ \dfrac{1}{\bigg( \bigg( 1 + \dfrac{n + 1}{n^2} \bigg) ^{\frac{n^2}{n+1}} \bigg)^{\frac{(n+1)(n-1)}{2\cdot n^2}} } = \\ \; \\ = \dfrac{1}{ \displaystyle{\lim_{n\to\infty}} \bigg( \bigg( 1 + \dfrac{n + 1}{n^2} \bigg) ^{\frac{n^2}{n+1}} \bigg)^{\frac{(n+1)(n-1)}{2\cdot n^2}} } = \\ \; \\
\left.
\begin{array}{ll}
= \dfrac{1}{ \bigg(\displaystyle{\lim_{n\to\infty}} \bigg( 1 + \dfrac{n + 1}{n^2} \bigg) ^{\frac{n^2}{n+1}} \bigg)^ { {\displaystyle {\lim_{n\to\infty}}} \frac{(n+1)(n-1)}{2\cdot n^2}}}\\ \\
\displaystyle{\lim_{n\to\infty}} \dfrac{n + 1}{n^2}= 0 \implies \\\implies \displaystyle{\lim_{n\to\infty}} \bigg( 1 + \dfrac{n + 1}{n^2} \bigg) ^{\frac{n^2}{n+1}} = e
\newline
\end{array}
\right \} \implies \\ \; \\
\left.
\begin{array}{ll}
\implies \displaystyle{\lim_{n\to\infty}} \ \dfrac{n}{\sqrt[]{n^2 + n + 1}} = \dfrac{1}{e ^ { {\displaystyle {\lim_{n\to\infty}}} \frac{(n+1)(n-1)}{2\cdot n^2}}} \\ \; \\ \qquad{\displaystyle {\lim_{n\to\infty}}} \frac{(n+1)(n-1)}{2\cdot n^2} =\dfrac{1}{2}
\end{array}
\right \} \implies \\ \; \\ \implies \displaystyle{\lim_{n\to\infty}} \ \dfrac{n}{\sqrt[]{n^2 + n + 1}} = \dfrac{1}{e ^\frac{1}{2} } \implies \\ \; \\ \implies
\displaystyle{\lim_{n\to\infty}} \ \dfrac{n}{\sqrt[]{n^2 + n + 1}} = \dfrac{1}{\sqrt []e} \text{Răspunsul este } \textbf{A}, \dfrac{1}{\sqrt []e} . \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad 
