Această ecuație în R a fost propusă în grupul MATE PENTRU TOȚI
Să se rezolve în mulțimea numerelor reale R:
2\Big(\frac {1}{ x^2}+\frac { x^2}{ 1-x^2}\Big) + 5\Big(\frac {\sqrt{1-x^2}}{ x}+\frac { x}{\sqrt{1-x^2}}\Big)+4 = 0O soluție este aceea de a pleca de la ideea:
a + \frac{1}{a} +2= \Big(\sqrt {a} + \frac{1}{\sqrt{a}}\Big)^2 ; (\forall) \space a \in \R_+^*Astfel vom avea:
\frac {1}{ x^2}+\frac { x^2}{ 1-x^2} = \frac {1}{ x^2}+\frac { x^2}{ 1-x^2} + 2 -2 =\\ \ \\ = \frac {1}{ x^2}-1+\frac { x^2}{ 1-x^2} + 2 -1 = \frac {1 -x^2}{ x^2}+\frac { x^2}{ 1-x^2} + 2 -1 = \Big( \frac {\sqrt{1 -x^2}}{ |x|}+\frac { |x|}{\sqrt{1 -x^2}}\Big)^2 -1
Insă pentru că vorbim despre radical și despre fracții trebuie să discutăm de condițiile de existență ale acestora:
\text { pentru } \space \sqrt{1-x^2} \text { condiția este } 1- x^2 \ge0\iff 1\ge |x| \\ \ \\
\text { din } \space\frac{1}{x} \text { obținem } x \neq 0 \\ \ \\
\text { din } \space\frac{1}{1-x^2} \text { obținem } 1 -x^2 \neq 0\iff |x| \neq 1 \\ \ \\Din toate aceste condiții obtinem că:
x \in (-1,0)\cup(0,1)
Observam că dacă x este pozitiv ecuația nu a are soluții, astfel vom cauta pe x in intervalul (-1, 0).
\text { Vom nota } \space a = \frac {\sqrt{1 -x^2}}{ x}+\frac { x}{\sqrt{1 -x^2}}Ne aducem aminte de proprietatile modulului deci :
\Big( \frac {\sqrt{1 -x^2}}{ |x|}+\frac { |x|}{\sqrt{1 -x^2}}\Big)^2 = a^2Inlocuim toate aceste in ecuația inițială si vom obține:
2(a^2 -1) +5a + 4 = 0 \iff 2a^2 +5a + 2 =0
Avem acum o ecuație de gradul al doilea si vom calcula radacinile acesteia:
\Delta=\frac{-5\pm\sqrt{25-16}}{4} =\frac{-5\pm3}{4}\Rightarrow \\ \ \\
\Rightarrow a_1 = \frac{-2}{4} \Rightarrow a_1 = -\frac{1}{2} \text { si } \\ \ \\
\Rightarrow a_2 = \frac{-8}{4} \Rightarrow a_2 = -2Vom analiza primul caz:
\frac {\sqrt{1 -x^2}}{ x}+\frac { x}{\sqrt{1 -x^2}} = -\frac{1}{2} \space \iff \\ \ \\
\iff \Big(\frac {\sqrt{1 -x^2}}{ x}+\frac { x}{\sqrt{1 -x^2}}\Big)^2 = \Big(-\frac{1}{2}\Big)^2 \space \iff \\ \ \\
\iff \frac {1 -x^2}{ x^2}+\frac { x^2}{ 1-x^2} + 2 = \frac{1}{4} \space \iff \\ \ \\
\iff \frac{1 -x^2}{ x^2}+\frac { x^2}{ 1-x^2} = \frac{1}{4} - 2 \space \iff \\ \ \\
\iff \frac{1 -x^2}{ x^2}+\frac { x^2}{ 1-x^2} = -\frac{3}{4} \space \iff \\ \ \\
\iff \frac{1 -x^2}{ x^2}+\frac { x^2}{ 1-x^2} < 0 \\ \ \\
\text {insa } x \in (0,1) \Rightarrow 1-x^2 > 0 \\ \ \\
\text {ceea ce face ca } \frac{1 -x^2}{ x^2}+\frac { x^2}{ 1-x^2} >0 \space (\forall) \space x \in (0,1) \\ \ \\ \text {deci nu avem o solutie validă}Vom analiza al doilea caz:
\frac {\sqrt{1 -x^2}}{ x}+\frac { x}{\sqrt{1 -x^2}} = -{2} \space \iff \\ \ \\
\iff \Big(\frac {\sqrt{1 -x^2}}{ x}+\frac { x}{\sqrt{1 -x^2}}\Big)^2 = (-2)^2 \space \iff \\ \ \\
\iff \frac {1 -x^2}{ x^2}+\frac { x^2}{ 1-x^2} + 2 = 4 \space \iff \\ \ \\
\iff \frac{1 -x^2}{ x^2}+\frac { x^2}{ 1-x^2} = 2
\\ \ \\ \text{ notam cu } b =\frac{1 -x^2}{ x^2}, \space b \neq 0 \Rightarrow b + \frac{1}{b} = 2 \iff \\ \ \\
\iff b^2 -2b + 1 = 0 \iff (b-1)^2 = 0 \iff \\ \ \\
\iff |b-1| = 0 \iff b = 1De aici vom aveam
\frac{1 -x^2}{ x^2} = 1 \iff1-x ^2 = x^2 \iff \\ \ \\
\iff 1 = 2x^2 \iff x^2 =\frac{1}{2} <=> Aplicăm proprietatile modulului si vom avea pentru această ecuație în R :
|x| = \frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow x \in\Big\{{-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}}\Big\}\\ \ \\ \text{insa stim ca } \space x < 0 \text \space { deci } \space x = -\frac{1}{\sqrt{2}}Un pas important este acela al verificării (pe cioana de obicei) soluției:
2\left(\frac {1}{ (-\frac{1}{\sqrt{2}})^2}+\frac { (-\frac{1}{\sqrt{2}})^2}{ 1-(-\frac{1}{\sqrt{2}})^2}\right) + 5\left(\frac {\sqrt{1-(-\frac{1}{\sqrt{2}})^2}}{ (-\frac{1}{\sqrt{2}})}+\frac { (-\frac{1}{\sqrt{2}})}{\sqrt{1-(-\frac{1}{\sqrt{2}})^2}}\right)+4 = 0\space \iff \\ \ \\ \iff
2\left( \frac{1}{\frac{1}{2}} + \frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}} \right)+5\left(\frac {\sqrt{1-\frac{1}{2}}}{ (-\frac{1}{\sqrt{2}})}+\frac { (-\frac{1}{\sqrt{2}})}{\sqrt{1-(\frac{1}{2})}}\right)+4 = 0\space \iff \\ \ \\
\iff 2\left( 2 + \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} \right)+5\left(\frac {\sqrt{\frac{1}{2}}}{ (-\frac{1}{\sqrt{2}})}+\frac { (-\frac{1}{\sqrt{2}})}{\sqrt{(\frac{1}{2})}}\right)+4 = 0 \iff \\ \ \\
\iff 2\left( 2 + 1 \right)+5\left(-1 +-1\right)+4 = 0 \iff \\ \ \\
\iff 2 * 3+5 *(-2) +4 = 0 \iff \\ \ \\
\iff 6-10 +4 = 0 \iff \\ \ \\ 0 = 0 \space \ (A)
